Перенормируемость стандартной модели

Лагранжиан Стандартной модели до и после спонтанного нарушения симметрии (SSB) перенормируем. Чтобы увидеть это, вспомним правило (хотя может быть не сразу очевидно, почему оно выполняется), согласно которому теория перенормируема, если все члены в лагранжиане имеют размерность 4 или меньше. Это верно для Стандартной модели, в которой все остальные термины опущены.

Чтобы увидеть, что SSB не влияет на это свойство СМ, рассмотрим часть лагранжиана, связанную с бозоном Хиггса:

$$\begin{equation} {\cal L} = \mu ^2 \left| \phi \right| ^2 - \lambda \left| \phi \right| ^4 - \phi \psi _i \psi _j \end{equation}$$ где, $\psi$- это набор полей SM, которые имеют юкавы (здесь я немного небрежно отношусь ко всем терминам, которые на самом деле инвариантны к SU (2)). SSB подразумевает сдвиг бозона Хиггса к его вакуумному среднему значению, которое находится на некотором значении $v$: $$\begin{equation} \left( \begin{array}{c} \phi _1 + i \phi _2 \\ \phi _3 + i \phi _4 \end{array} \right) \rightarrow \left( \begin{array}{c} \phi _1 + i \phi _2 + v \\ \phi _3 + i \phi _4 \end{array} \right) \end{equation}$$ Это не меняет размерность поля Хиггса, поскольку $v$по-прежнему имеет массовую размерность $1$и поэтому каждый член, содержащий бозон Хиггса, не изменит размерности после SSB. Каждый член по-прежнему будет иметь не более массовой размерности $4$. Следовательно, вопрос о том, является ли теория перенормируемой, будет одинаково хорошо выполняться как до, так и после SSB.