Спутник GPS — специальная теория относительности

Question

Спутник GPS — специальная теория относительности

Ламми

Я выполняю старое задание по теории относительности, и меня попросили рассчитать замедление времени для спутника, который совершает оборот вокруг Земли за 12 часов на расстоянии 26000 км от поверхности и движется с постоянной скоростью. Дан радиус Земли 6400км. В решениях автор вычислил скорость, пройденную спутником, как $\dfrac{3.24\times 10^7\times 2\pi}{12\times 3600} \text{ms}^{-1}\simeq 4500 \text{ms}^{-1}$ . С расчетом у меня все в порядке (если я где-то ошибся с цифрами, не возражаю). Что меня не устраивает, так это то, что они продолжали использовать $v=4500$ в формуле $\gamma=\dfrac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$ , что необходимо для расчета замедления времени. Насколько мне известно, эта формула справедлива только для наблюдателей, относительная скорость которых равна $v$ . Однако в этом случае, когда есть наблюдатель на поверхности Земли и спутник, движущийся по кругу вокруг центра Земли, их относительная скорость не постоянна!

dmckee --- котенок экс-модератор

Вы вычислили степень разницы (подсказка: она нетривиальна, но не особенно велика)? Рассматривали ли вы усреднение по наибольшему и наименьшему

γ

$\gamma$ что может быть связано? Насколько сильно это повлияет на конечный результат?

Ламми

Я на самом деле запутался до такой степени, что не понял свой первоначальный вопрос! Я больше не уверен, что разница вообще есть, поскольку относительная величина скорости постоянна. Но теперь у меня проблема, что я не знаю, о какой разнице вы говорили! Извините, что так запутал

dmckee --- котенок экс-модератор

Относительная скорость может меняться. На самом деле меняется . Но даже на экваторе скорость наблюдателя меньше 500 м/с относительно центра Земли, поэтому диапазон относительных скоростей составляет от 4000 до 5000 м/с. Вычислить

γ

$\gamma$ для каждого из них и спросите себя, имеет ли это значение. (Используйте биномиальное приближение для гаммы или вычислительный инструмент с большим количеством цифр.)

Ответы (1)

Спутник GPS — специальная теория относительности

Вы вычислили степень разницы (подсказка: она нетривиальна, но не особенно велика)? Рассматривали ли вы усреднение по наибольшему и наименьшему $\gamma$ что может быть связано? Насколько сильно это повлияет на конечный результат?
Я на самом деле запутался до такой степени, что не понял свой первоначальный вопрос! Я больше не уверен, что разница вообще есть, поскольку относительная величина скорости постоянна. Но теперь у меня проблема, что я не знаю, о какой разнице вы говорили! Извините, что так запутал
Относительная скорость может меняться. На самом деле меняется . Но даже на экваторе скорость наблюдателя меньше 500 м/с относительно центра Земли, поэтому диапазон относительных скоростей составляет от 4000 до 5000 м/с. Вычислить $\gamma$ для каждого из них и спросите себя, имеет ли это значение. (Используйте биномиальное приближение для гаммы или вычислительный инструмент с большим количеством цифр.)

Джон Ренни · Answer 1

Замедление времени из-за движения по кругу относительно наблюдателя в центре — это обычное замедление времени Лоренца из-за скорости движения. Если вам интересно, в моем ответе на вопрос Отличается ли гравитационное замедление времени от других форм замедления времени? Я показал, как это получается из метрики.

В любом случае, как вы говорите, замедление времени относительно второго наблюдателя, также движущегося по кругу, будет сложной функцией времени по мере изменения относительной скорости двух наблюдателей. Однако вы можете рассчитать замедление времени для обоих наблюдателей относительно центра, а затем взять отношение, чтобы получить среднее (по многим орбитам) замедление времени между вашими двумя наблюдателями. Если мы представим скорость спутника как $v_s$ а скорость наблюдателя на Земле как $v_e$ , то замедление времени спутника относительно поверхности составит:

\begin{matrix} (1) & т_{р} "=" \frac{γ_{е}}{γ_{с}} "=" \frac{\sqrt{1 - в_{с}^{2} / с^{2}}}{\sqrt{1 - в_{е}^{2} / с^{2}}} \end{matrix}

$t_r = \frac{\gamma_e}{\gamma_s} = \frac{\sqrt{1 - v_s^2/c^2}}{\sqrt{1 - v_e^2/c^2}} \tag{1}$

Если вы попытаетесь выполнить этот расчет, вы обнаружите, что в вашем калькуляторе недостаточно значащих цифр, чтобы избежать ошибок округления (ну, возможно, по крайней мере, в моем нет), но мы можем использовать биномиальное разложение для аппроксимации $\gamma$ :

γ "=" \frac{1}{\sqrt{1 - в^{2} / с^{2}}} \approx 1 + \frac{1}{2} \frac{в^{2}}{с^{2}}

$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} \approx 1 + \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$

или альтернативно:

\frac{1}{γ} \approx 1 - \frac{1}{2} \frac{в^{2}}{с^{2}}

$\frac{1}{\gamma} \approx 1 - \frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}$

Поместите эти приближения в уравнение (1), и вы получите:

\begin{aligned} т_{р} & \approx (1 + \frac{1}{2} \frac{в_{е}^{2}}{с^{2}}) (1 - \frac{1}{2} \frac{в_{с}^{2}}{с^{2}}) \\ \approx 1 - \frac{в_{с}^{2}}{2 с^{2}} (1 - \frac{в_{е}^{2}}{в_{с}^{2}}) \end{aligned}

$\begin{align} t_r &\approx (1 + \frac{1}{2}\frac{v_e^2}{c^2})(1 - \frac{1}{2}\frac{v_s^2}{c^2}) \\ &\approx 1 - \frac{v_s^2}{2c^2}\left(1 - \frac{v_e^2}{v_s^2} \right) \end{align}$

Итак, у нас есть поправочный коэффициент $1 - v_e^2/v_s^2$ . В вашем примере скорость спутника составляет 4500 м/с, а скорость более быстро движущейся части поверхности Земли (на экваторе) составляет 464 м/с, поэтому поправочный коэффициент составляет около 1%. Замедление времени спутника при наблюдении с экватора будет примерно на 1% меньше, чем при наблюдении из центра Земли.

Спасибо за четкий и подробный ответ! Единственная часть, которую я не понимаю, это то, почему соотношение двух $\gamma$ факторы представляет собой среднее замедление времени?
Составление некоторых чисел для иллюстрации, предположим, $1/\gamma_e = 0.8$ для поверхности Земли и $1/\gamma_s = 0.6$ для спутника. Это означает, что когда для стационарного наблюдателя проходит 100 секунд, на Земле проходит 80 секунд, а на спутнике — 60 секунд. Итак, если смотреть с Земли, то 60 секунд на спутнике проходят за 80 секунд на Земле, поэтому замедление времени составляет 60/80, что просто $\gamma_e/\gamma_s$ .

Спутник GPS — специальная теория относительности

Ламми

dmckee --- котенок экс-модератор

Ламми

dmckee --- котенок экс-модератор

Ответы (1)

Джон Ренни

Ламми

Джон Ренни

Лоренц-инвариантность волнового уравнения

Системы отсчета в специальной и общей теории относительности

Эффект гравитации на околосветовых скоростях

Максимальное время вблизи черной дыры

Is (−∂2∂t2+∇2)ϕ=0(−∂2∂t2+∇2)ϕ=0\left(-\frac{\partial^2}{\partial t^2}+\nabla^2\ справа)\фи=0 то же, что и ∂μ(gμν−g−−−√∂νϕ)=0∂μ(gμν−g∂νϕ)=0\partial_\mu\left(g^{\mu\nu}\ sqrt{-g} \partial_\nu\phi\right)=0?

Почему вычитание релятивистской скорости дает большую относительную скорость, чем классическая?

Почему GPS зависит от относительности?

Как GPS корректируется для специальной/общей теории относительности?

Замедление времени: почему наблюдатели видят друг друга медленнее, но при этом один из них старше или моложе другого?