Статистическая механика против статистики

Сначала позвольте мне повторить то, что говорит Иван Веленик в комментарии: терминология несколько неудачна, потому что вам не нужно столько статистики, а вам нужна теория вероятности.

Чтобы уточнить, цитируя Википедию ,

Статистика — это наука о сборе, анализе, интерпретации, представлении и организации данных. [...] Статистика касается всех аспектов данных, включая планирование сбора данных с точки зрения разработки обследований и экспериментов.

Итак, статистика — это прежде всего данные и их анализ. Итак, когда вы проводите эксперимент, у вас появляется гипотеза и вы собираете данные. Затем вы будете использовать множество статистических методов для их оценки, таких как анализ ошибок, тесты достоверности (такие как$\chi^2$-тесты) и др.

Ничего из этого не имеет отношения к статистической физике, потому что это относится к чисто теоретической модели. Статистическая механика изучает коллективное (читай: среднее) поведение механических систем, микроскопическое поведение которых неизвестно в деталях. Это не данные. Что на самом деле полезно, так это теория вероятностей.

Поэтому позвольте мне быть настолько свободным, чтобы перефразировать вопрос:

Какие неизученные аспекты теории вероятностей могут пригодиться физикам?

И мы ограничиваем нашу область материаловедения и/или квантовой информации. Поскольку я занимаюсь квантовой информацией, я буду в основном говорить об этом.

Конечно, необходимо знать некоторые основные элементы: центральные предельные теоремы, основные ожидаемые значения и идея плотности вероятности уже заложены в формулировку квантовой механики, но, вероятно, каждый физик слышал о них.

Другая, гораздо более богатая область теории вероятностей — рассмотрение моделей шума и работа с шумом. «Шум» относится к влиянию, которое невозможно полностью описать, поэтому вы вводите случайные величины или даже стохастические процессы (обычно очень простые). В качестве случайного примера (каламбур) рассмотрим статью Брави и Кенига о коррекции ошибок с помощью беспорядка для майорановских фермионов . Здесь может помочь базовое понимание того, что могут делать случайные величины.

Я выбрал это еще и потому, что локализация Андерсона — хорошо изученное явление в математической физике, которое может иметь место в материаловедении. Это связано с определенными стохастическими процессами, поэтому их знание может быть интересным. Точно так же теоретики вероятности любят изучать броуновское движение (которое является частным случаем случайного процесса) и модели перколяции, которые можно применять к вопросам материаловедения.

Еще одна очень важная область теории вероятностей, с которой вы можете столкнуться в квантовой информации, — это теория Маркова. Существует понятие квантовой цепи Маркова , которое много изучается в литературе. Кроме того, аналогичные определения «марковости» существуют для произвольных каналов и квантовых полугрупп (каналов типа$e^{\mathcal{L}t}$где$\mathcal{L}$является лиувиллианом некоторой открытой квантовой системы), и их изучение полезно благодаря знанию классической литературы.

Я мог бы продолжать в том же духе — вопрос на самом деле «слишком широкий», — но позвольте мне упомянуть только два последних аспекта, с которыми вы столкнетесь в классических курсах вероятностей: мартингалы и случайные матрицы. Оба объекта время от времени используются в квантовой информации для различных целей. Случайные матрицы часто используются для моделирования шума, для мартингалов, позвольте мне привести вас к статье, в которой они изучаются для процессов оценки состояния .

Напоследок отмечу, что все приведенные выше примеры в основном учитывают лишь начальные знания по темам, но это не значит, что нельзя применить более навороченные вещи, но это еще не сделано.