Страничное время и шифрование информации черной дырой

Время Пажа возникает из-за природы запутанности. Для резонаторного излучателя излучения черного тела фотон, излучаемый ранее, запутывается с атомными состояниями в резонаторе. Однако, как только половина энергии в резонаторе излучается, последующее испускаемое излучение запутывается с излучением, испускаемым ранее. В результате энтропия запутанности возрастает до некоторого максимума примерно при половине излучаемой энергии, а затем падает. Запутанные состояния находятся ближе к концу в виде испускаемого излучения.

Черная дыра аналогична тем, что излучение Хокинга испускается запутанной парой фотонов или электронно-позитронных пар. Один входит в черную дыру, а другой уходит в бесконечность. На половине пути, где черная дыра испустила половину своей массы, становится очевидной загадка. Благодаря этому процессу черная дыра продолжает накапливать энтропию запутанности. Это превысит границу энтропии Бекенштейна. Если это предотвратить, предполагая, что запутанность более позднего излучения Хокинга запутана с ранним излучением Хокинга, это вынуждает двусторонние запутывания эволюционировать в трехчастные состояния, что невозможно при унитарной эволюции. Говорят, что это нарушает правило моногамии. Обычно это происходит в так называемое время страницы.

Идея тогда состоит в том, что что-то катастрофическое происходит, когда либо унитарная эволюция, либо принцип эквивалентности терпят неудачу. Предпочтение отдается унитарности, поэтому говорят, что принцип эквивалентности не работает на так называемом межсетевом экране.

Теперь я рассмотрю это в контексте$AdS_3~\sim~CFT_2$, где черные дыры БТЗ в 2 пространстве плюс время соответствуют$AdS_3$. Я буду немного подставлять свою шею по этому поводу. Это рассматривается в отношении результата Рю-Такаянаги для энтропии запутанности$AdS$пространство-время и квантовые коды исправления ошибок. Энтропия запутанности$CFT_2$энтропия с шагом решетки$a$является

$$S~\simeq~\frac{R}{4G}ln(|\gamma|)~=~\frac{R}{4G}ln\left[\frac{a}{L}~+~e^{2\rho_c}sin\left(\frac{\pi \ell}{L}\right)\right].$$ где обрезание малой решетки позволяет избежать сингулярного условия для $\ell~=~0$или $L$. Для метрики в виде $ds^2~=~(R/r)^2(-dt^2~+~dr^2 ~+~dz^2)$геодезическая линия определяет энтропию как результат Рю-Такаянаги (RT) $$S~=~\frac{R}{2G}\int_{2a/l}^{\pi/2}\frac{ds}{sin~s}~=~-\frac{R}{2G}ln[cot(s)~+~csc(s)]\Large|_{2a/\ell}^{\pi/2}$$ $$\simeq~\frac{R}{2G}ln\left(\frac{l}{a}\right),$$ какой маленький $\ell$предел указанной выше энтропии.

Результат RT указывает энтропию, связанную с действием$S_a~\leftrightarrow~S_e$. Сложность, форма энтропии Колмогорова$S_a/\pi\hbar$которая также может принимать форму энтропии системы$S~\sim~k~log(dim~\cal H)$для$\cal H$гильбертово пространство и размерность числа состояний, занятых в гильбертовом пространстве. Мы также можем рассматривать сложность как объем моста Эйнштейна-Розена.$vol/GR_{ads}$или, что то же самое, площадь RT$\sim~vol/R_{AdS}$. У нас есть эквивалентность такой энтропии или сложности согласно геодезическим путям в гиперболическом$\mathbb H^2$геометрическими средствами и из формализма квантовой механики.

Время страницы ЧД - это время, когда она уменьшилась до половины своей первоначальной массы из-за излучения Хокинга. Именно в этот момент энтропия запутанности ЧД превышает пределы энтропии для ЧД. Это также точка, в которой наблюдатель, который настраивает черную дыру с набором известных состояний на горизонте, обнаруживает, что они были рандомизированы за пределами того, что можно восстановить. Обмен квантовыми битами на горизонте событий превышает расстояние Хэмминга. Расстояние Хэмминга измеряет минимальное количество замен букв, необходимых для замены одной строки на другую. Затем это дает минимальное количество ошибок, которые преобразовали одну строку в другую. Во время страницы это превышено. Квантовые волосы на горизонте событий ЧД определяют тип метрики кубита, и унитарная эволюция происходит, когда расстояние Хэмминга между цепочками кубитов мало. Как только оно становится очень большим из-за рандомизирующих эффектов излучения Хокинга, расстояние становится огромным числом вычислений и приближается к энтропии самой ЧД. На данный момент унитарная эволюция невозможна.

Учитывая причинный клин$W_1$с запутыванием${\cal E}_{W1}$, есть дополнительная область$\bar W_1$и запутанность$\epsilon_{\bar W_1}$. Мы имеем с формулой RT, что для$W_1$ограниченный кривой$\gamma_{W_1}$функция${\cal L}_{W_1}~=$ $area(\gamma_{W_1})/4\ell_p$,$\ell_p$длина Планка, определяющая энтропию, линейную по плотности$\rho$,$Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$. Тогда энтропия клина равна Харлоу.

$$\begin{equation} S(\rho_{W_1})~=~S(\rho_{{\cal E}W_1})~+~Tr(\rho{\cal L}_{W_1}), \end{equation}$$ где $S(\rho_{{\cal E}W_1})$— энтропия запутанности клина. Энтропия RT $Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$является линейным в матрице плотности, в то время как $S(\rho_{{\cal E}W_1})$задается формулой Шеннона и не является линейным. По двойственности имеем также $S(\rho_{\bar W_1})~=~S(\rho_{{\cal E}\bar W_1})$ $+~Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$. Эта кривая определяет модули кривых, где форма формулы RT использует псевдоаносовские элементы на пространствах Тейхмюллера . Пространство модулей определяет количество квантовых состояний $N$которые занимают гильбертово пространство с такой энтропией $S(N)~=~log(N)$ $~\sim~Tr(\rho{\cal L}_W)$. Геодезические на гиперболической поверхности определяют причинные клинья с энтропийной мерой RT. Предположим, что есть два каузальных клина. $W_1$и $W_2$ограничены непересекающимися кривыми. Далее мы назначаем длины этих кривых равными, чтобы они имели одинаковую энтропию $S(W_1)~=~S(W_2)$, где для краткости мы временно опускаем обозначение матрицы плотности. Поле в $W_1$и $W_2$представляется локальными граничными операторами на этих клиньях, если это поле находится в области клина запутывания, характеризуемой $I(\bar W_1,~\bar W_2)$. Чистая запутанность $S(\bar W_1,~\bar W_2)$определяет энтропию причинных клиньев как $$S(W_1)~=~S(\bar W_1,~\bar W_2)~-~S(\bar W_2)$$ $$S(W_2)~=~S(\bar W_1,~\bar W_2)~-~S(\bar W_1),$$ который для равной запутанности определяет энтропию RT согласно совместной энтропии $$\begin{equation} Tr(\rho{\cal L}_{\bar W_1})~=~\frac{1}{2}S(\rho_{\bar W_1},~\rho_{\bar W_2}), \end{equation}$$ с восстановленными обозначениями матрицы плотности. За равенство $S(W_1)~=~S(W_2)$энтропия этих клиньев определяется как $Tr(\rho{\cal L}_{W_1})$который соединяется с Сасскиндом $ER~=~EPR$для этих двух клиньев коррелируют с двумя областями, соединенными мостиком ER.

Для зарядов в причинной области кривая$\gamma_W$содержит контурные интегрирования вокруг этих зарядов. Их можно рассматривать как форму прокола на многообразии, что означает причинные клинья и$AdS_2$является римановым многообразием высокого рода. Оценка энтропии RT по кривым затем определяется элементами на пространствах Тейхмюллера .

Это показывает, как время страницы для испарения черной дыры связано со временем для скремблирования информации о ЧД. Результат уравнения$2$для линейной энтропии RT, равной половине совместной энтропии, указывает, что код квантовой коррекции ошибок может обрабатывать только около половины квантовой информации без ошибок. Это означает, что информация о черной дыре имеет двойное описание в соответствии с пространством-временем или квантовой механикой. $ER~=~EPR$может быть, они менее эквивалентны, поскольку это дополнительный принцип. Эквивалентность меры энтропии квантового волоса по длинам дуги RT и Мирзахани двойственна мере по квантовому интегрированию путей. С уравнением$2$любой локальный наблюдатель может наблюдать энтропию либо геометрическими, либо гравитационными, либо квантово-механическими средствами, но не обоими с полной точностью. Физически это означает, что квантовые волосы таковы, что имеют двойное описание с помощью геометрии или квантовых состояний. Эквивалентно это подразумевает двойственность между принципами эквивалентности и унитарности.