Существует ли естественный способ определения относительных волновых функций?

Почему бы просто не переопределить переменные? Если$\vec{x}_{A}$это положение частицы$A$и$\vec{x}_{B}$частица$B$, затем

$$\vec{x}_{A}=\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x} \qquad \text{and}\qquad\vec{x}_{B}=\vec{X}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}$$ где $m_{A}$и $m_{B}$- массы частиц, $M=m_{A}+m_{B}$полная масса системы, $\vec{x}=\vec{x}_{A}-\vec{x}_{B}$вектор разделения и

$$\vec{X}=\frac{m_{A}\vec{x}_{A}+m_{B}\vec{x}_{B}}{M}$$

это положение центра масс.

Если$\psi_{A}(\vec{x}_{A})$описывает частицу$A$и$\psi_{B}(\vec{x}_{B})$описывает частицу$B$, составная система описывается:

$$\psi(\vec{x}_{A},\vec{x}_{B})=\psi_{A}(\vec{x}_{A})\,\psi_{B}(\vec{x}_{B})\quad\text{(distinguishable particles)}\\ \psi(\vec{x}_{A},\vec{x}_{B})=\frac{1}{\sqrt{2}}\ (\psi_{A}(\vec{x}_{A})\,\psi_{B}(\vec{x}_{B})+\psi_{A}(\vec{x}_{B})\,\psi_{B}(\vec{x}_{A}))\quad\text{(indistinguishable particle, bosons)}\\ \psi(\vec{x}_{A},\vec{x}_{B})=\frac{1}{\sqrt{2}}\ (\psi_{A}(\vec{x}_{A})\,\psi_{B}(\vec{x}_{B})-\psi_{A}(\vec{x}_{B})\,\psi_{B}(\vec{x}_{A}))\quad\text{(indistinguishable particle, fermions)}$$

(следует также поменять местами спиновые метки для неразличимых случаев). Предположим для простоты, что частицы различимы. Затем вы можете определить волновую функцию в зависимости от положения центра масс и вектора разделения как

$$\psi(\vec{X},\vec{x})=\psi_{A}\big(\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{X}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}\big)$$

и это ответ на ваш вопрос. Обратите внимание, что в общем случае волновую функцию нельзя разложить на множители.$\vec{X}$-зависимый и$\vec{x}$-зависимая часть: это зависит от конкретной формы$\psi_{A}$и$\psi_{B}$. Однако у вас все еще есть четко определенная вероятность для переменной$\vec{x}$:

$$\rho(\vec{x})=\int d^{3}X\ |\psi(\vec{X},\vec{x})|^{2}=\int d^{3}X\ \bigg|\psi_{A}\big(\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{X}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}\big)\bigg|^{2}$$

Обратите внимание, что это определение — по крайней мере, для данного случая — приводит к тому же результату, что и ваше собственное:$\vec{U}=\vec{X}+\frac{m_{B}}{M}\vec{x}$и замените переменные интегрирования от$\vec{X}$к$\vec{U}$: Вы получаете

$$\rho(\vec{x})=\int d^{3}U\ \bigg|\psi_{A}\big(\vec{U}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{U}-\frac{m_{B}}{M}\vec{x}-\frac{m_{A}}{M}\vec{x}\big)\bigg|^{2}=\int d^{3}U\ \bigg|\psi_{A}\big(\vec{U}\big)\,\psi_{B}\big(\vec{U}-\vec{x}\big)\bigg|^{2}$$

где на втором шаге я только упростил$(m_{A}+m_{B})/M=1$. Однако результат верен только в том случае, если частицы различимы: если нет, то$\psi(\vec{X},\vec{x})$принимает одно из выражений, которые я написал выше для бозонного или фермионного случая, и мое определение приведет к другому результату. Тот, который я написал, является правильным, потому что он основан на надежных принципах (составные волновые функции для неразличимых/неразличимых частиц), а не на эвристике.

С другой стороны, можно показать, что если потенциал, действующий на систему$A+B$представляет собой сумму$\vec{X}$-зависимый потенциал и$\vec{x}$-зависимый потенциал, то собственные функции гамильтониана действительно всегда разлагаются на$\vec{X}$-зависимый и$\vec{x}$-зависимая часть: в этом случае вы всегда можете записать собственные функции как

$$\psi(\vec{X},\vec{x})=\psi_{c.o.m.}(\vec{X})\ \psi_{sep.}(\vec{x})$$

где каждый из$\psi$s на правой стороне отдельно решает независимое от времени уравнение Шредингера с соответствующим потенциалом. В этом случае,$\psi_{sep.}(\vec{x})$- это волновая функция, которую вы ищете (и она может иметь определенные свойства симметрии в неразличимом случае). Например, если на частицы действует сила, которая зависит только от расстояния между частицами$\vec{x}$, вы обнаружите, что

$$\psi_{c.o.m.}(\vec{X})=e^{i\vec{P}\cdot \vec{X}/\hbar}$$

где$\vec{P}$- центр масс импульса системы, а$\psi_{sep.}(\vec{x})$удовлетворяет уравнению Шрёдингера

$$\bigg[-\frac{\hbar^{2}}{2\mu}\ \nabla^{2}+V(\vec{x})\bigg]\psi_{sep.}(\vec{x})=E_{int}\ \psi_{sep.}(\vec{x})$$

с$\mu=m_{A}m_{B}/M$уменьшенная масса системы.