Изменение системы отсчета для волновой функции: тот же модуль, но разные токи?

Question

Изменение системы отсчета для волновой функции: тот же модуль, но разные токи?

Андреа Пако

Предположим, что в определенный $t=0$ , имеет волновую функцию

ψ "=" ψ (Икс, у)

$\psi=\psi(x,y)$ определена на плоскости и хорошо нормирована на

1

$1$ . Координаты (x,y) относятся к кадру

x O y

$xOy$ .

Как изменится волновая функция, если в момент времени $t=0$ , человек прыгает на вращающейся раме $x\prime O\prime y\prime$ такой, что

Начало координат совпадает с началом исходного кадра (т. е. $O\,\equiv \, O^\prime$ );
Вовремя $t=0$ , $x \, \equiv x^\prime$ и $y \, \equiv \, y^\prime$ ;
Вторая система отсчета имеет угловую скорость $\Omega$ по отношению к первому.

NB 1: меня не интересует волновая функция в разное время, т.е. $t>0$ , а только в

ψ^{'} "=" ψ^{'} ({Икс}^{'}, у^{'})

$\psi'=\psi'(x',y')$ в

t = 0

$t=0$ .

NB 2: я ожидаю (пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь) $\psi$ и $\psi^\prime$ быть таким, что $|\psi|^2=|\psi^\prime|^2$ но их фазы должны быть разными, потому что токи , например, ток вероятности

\vec{Дж} "=" \frac{ℏ}{2 м я} (ψ^{*} \nabla ψ - ψ \nabla ψ^{*})

$\vec{j}= \frac{\hbar}{2mi}(\psi^*\nabla\psi-\psi\nabla\psi^*)$ должны быть разными в двух кадрах.

Эли

\begin{aligned} x \mapsto x \cos (Ω t) - y \sin (Ω t) \\ y \mapsto x \sin (Ω t) + y \cos (Ω t) \end{aligned}

$\begin{aligned}x\mapsto x\cos \left( \Omega \,t\right) -y\sin \left( \Omega \, t\right) \\ y\mapsto x\,\sin\left( \Omega \, t\right) +y\,\cos\left( \Omega t\right) \end{aligned}$

Андреа Пако

Спасибо за ваш комментарий. Я не думаю, что этого преобразования достаточно... потому что в

t = 0

$t=0$ две волновые функции,

ψ

$\psi$ и

ψ^{'}

$\psi^\prime$ совпали бы. Я согласен, что квадратные модули

ψ

$\psi$ и

ψ^{'}

$\psi^\prime$ должны совпадать в

t = 0

$t=0$ , но в их фазах должно быть что-то другое . А именно, их фазы должны быть разными, потому что токи, измеренные в двух кадрах, должны быть разными.

Ответы (1)

Изменение системы отсчета для волновой функции: тот же модуль, но разные токи?

$\begin{aligned}x\mapsto x\cos \left( \Omega \,t\right) -y\sin \left( \Omega \, t\right) \\ y\mapsto x\,\sin\left( \Omega \, t\right) +y\,\cos\left( \Omega t\right) \end{aligned}$
Спасибо за ваш комментарий. Я не думаю, что этого преобразования достаточно... потому что в $t=0$ две волновые функции, $\psi$ и $\psi^\prime$ совпали бы. Я согласен, что квадратные модули $\psi$ и $\psi^\prime$ должны совпадать в $t=0$ , но в их фазах должно быть что-то другое . А именно, их фазы должны быть разными, потому что токи, измеренные в двух кадрах, должны быть разными.

Джитендра · Answer 1

Джитендра

Смена системы координат в квантовой механике может быть легко осуществлена в гейзенберговском подходе квантовой механики. Вы можете очень легко преобразовать (как я покажу ниже) гамильтониан из одной системы отсчета в другую, а затем подставить этот новый гамильтониан в уравнение Шредингера, чтобы найти преобразованные волновые функции.

Гамильтониан в системе покоя/основы- $H$

Гамильтониан в системе вращения (вращающейся с угловой скоростью $\Omega$ ) - $H_{rot}$

$H_{rot} = UHU^\dagger -iU\frac{dU^\dagger}{dt}$

где $U$ является оператором преобразования. $U = e^{-i\Omega tJ_z }$

еще, $\phi_{rot}(t) = e^{-i\Omega t J_z}\phi(t)$

где $J_z$ это $z$ -компонента полного углового момента для вращения вокруг $z$ -ось с угловой скоростью $\Omega$ .

лалала

Если вы возьмете в качестве примера гармонический осциллятор или гамильтониан, что такое сигма z в этом случае? И что тогда будет H rot?

Андреа Пако

Спасибо за ваш ответ! В любом случае, боюсь, вы не ответили на мой вопрос. Меня интересует, как изменяется волновая функция, а не гамильтониан. Более того, при t=0 предложенное вами преобразование сводится к тождеству, что, я думаю, неверно.

Джитендра

@AndreaPaco Поскольку вращение квантуется в квантовой механике. Волновая функция в системе вращения будет

ϕ_{r o t} (t) = e^{- i Ω t L_{z}} ϕ (t)

$\phi_{rot}(t) = e^{-i\Omega t L_z}\phi(t)$ .

L_{z}

$L_z$ может быть матричным, если у вас есть конечные размеры или

L_{z} = x p_{y} - y p_{x}

$L_z=xp_y-yp_x$ если у вас есть бесконечномерное гильбертово пространство.

Джитендра

@lalala для квантового гармонического генератора

U = e^{i Ω t L_{z}}

$U=e^{i\Omega t L_z}$ где

L_{z} = x p_{y} - y_{p} x

$L_z= xp_y-y_px$ . Вы можете сделать остальную математику.

Андреа Пако

@ Джитендра, спасибо. Но при t=0 волновые функции одинаковы в двух кадрах, что я считаю неправильным. Вы согласны?

лалала

Спасибо. Конечно. Я не думал называть оператор углового момента матрицей Паули; но это имеет смысл.

Джитендра

@АндреаПако при t=0

ϕ_{r o t} (0) = e^{- i Ω L_{z} (0)} ϕ (0) = ϕ (0)

$\phi_{rot}(0) = e^{-i\Omega L_z (0)}\phi(0) = \phi(0)$ . При t=0 волновые функции должны совпадать, в чем проблема?

Андреа Пако

Для меня тот факт, что волновые функции совпадают при t=0, противоречит здравому смыслу. Дело в токах : если что-то (например, вихрь) вращается в одной системе отсчета, то в другой системе оно должно вращаться с другой угловой частотой.

Андреа Пако

Кроме того, возьмем еще один пример: кадр, который перемещается по отношению к другому. Если некоторый волновой пакет имеет определенную групповую скорость в системе отсчета, я ожидаю, что эта групповая скорость будет другой в другой (инерциальной) системе отсчета.

Джитендра

@AndreaPaco Поскольку все преобразования, используемые в физике, непрерывны и дифференцируемы, поэтому согласно граничным условиям волновые функции при t = 0 должны совпадать. Вы, конечно, правы, что во вращающейся системе отсчета угловая скорость будет другой, но при t=0 эффекта преобразований нет, поэтому волновые функции в обеих системах совпадают. В случае перевода вы можете просто заменить угловой момент импульсом. Возможно, вы помните из элементарной квантовой механики, что линейный импульс является генератором поступательного движения, а угловой момент — генератором вращения.

Андреа Пако

Да, я помню, что импульс является генератором поступательного движения, а угловой момент — генератором поступательного движения. Итак, если волновые функции одинаковы в двух системах отсчета, как я могу математически вычислить, что угловые скорости различны? Ввиду этого я не уверен, что унитарное преобразование

U

$U$ то, что вы упомянули (хотя и правильно!!), играет роль смены системы отсчета: действительно, я не уверен, что понятие «унитарная операция, совершающая поворот» соответствует понятию «преобразование системы отсчета».

Джитендра

Я лишь сказал, что при t=0 волновые функции совпадут. В более позднее время t волновые функции обязательно изменятся. Просто умножьте волновую функцию статического кадра на

e^{- i Ω L_{z} t}

$e^{-i\Omega L_zt}$ и вы получите свою волновую функцию вращающейся рамки. (

ϕ_{r o t} = U ϕ

$\phi_{rot} = U\phi$ ).

Андреа Пако

Я еще раз благодарю вас за интерес к моему вопросу. Извините, но ваше объяснение меня не полностью убеждает. Для меня очень странно, что при

t = 0

$t=0$ волновые функции в двух кадрах совпадают. Как я сказал (и вы согласились со мной), угловой момент, измеренный в двух системах отсчета, должен быть разным, в том числе и при

t = 0

$t=0$ .

Изменение системы отсчета для волновой функции: тот же модуль, но разные токи?

Андреа Пако

Эли

Андреа Пако

Ответы (1)

Джитендра

лалала

Андреа Пако

Джитендра

Джитендра

Андреа Пако

лалала

Джитендра

Андреа Пако

Андреа Пако

Джитендра

Андреа Пако

Джитендра

Андреа Пако

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

Доказательство нормализации волновой функции

Существует ли естественный способ определения относительных волновых функций?

Радиальное уравнение Шредингера с обратным степенным потенциалом

Как интерпретируется нулевая вероятность в физике?

Введение Quantum, проблема с этим граничным условием и потенциалом

Возможная ошибка в классической динамике частиц и систем Мэрион и Торнтона

Матрица вращения со спином 1/2 считается направленной против часовой стрелки?

Попытка сначала понять основы положения и импульса в квантовой механике.

Почему волновые функции должны быть однозначными?