Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

Question

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

СРС

В классической механике орбитальный угловой момент частицы определяется как $\textbf{L}=\textbf{r}\times\textbf{p}$ . Это ноль в системе покоя частицы, где $\textbf{p}=0$ .

Квантовая механика, $\textbf{p}$ является оператором. Так положить $\hat{\textbf{p}}=0$ в $\hat{\textbf{L}}=\hat{\textbf{r}} \times\hat{\textbf{p}}$ и утверждение, что орбитальный угловой момент квантовой частицы равен нулю в системе покоя, не имеет смысла. Надо смотреть на значение $\hat{\textbf{L}}^2$ на « волновой функции в системе покоя » частицы.

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

Qмеханик

Подсказка: покажите, что коммутатор

[L_{i}, p_{j}]

$[L_i,p_j]$ пропорциональна

p_{k}

$p_k$ . Следующий поставить

p = 0

$p=0$ .

Эмилио Писанти

Кто сказал, что у квантовой частицы (во всем, что не является собственным состоянием импульса плоской волны) изначально есть система покоя?

Вальтер Моретти

Ваш подход не правильный. Идея состоит в том, чтобы начать предполагать существование генератора

J

$J$ глобальных вращений вокруг начала координат, что удовлетворяет соотношениям алгебры Ли

S O (3)

$SO(3)$ и затем определить

S_{k} = J_{k} - (X \land P)_{k}

$S_k= J_k - (X \wedge P)_k$ . Это легко доказать, из CCR

X

$X$ и

P

$P$ что

S_{k}

$S_k$ по-прежнему определяют отношения алгебры Ли представления

S O (3)

$SO(3)$ и ездить с

X

$X$ и

P

$P$ . Возможно, это представление тривиально (т.е. спина нет), иначе

S_{k}

$S_k$ определяют собственный угловой момент.

Вальтер Моретти

Также известен (возможно, неправильно) как угловой момент в системе покоя системы. На самом деле на квантовом уровне описание более тонкое, и существование нетривиальных

S_{k}

$S_k$ соответствуют (используя теорему Стоуна фон Неймана) факторизации гильбертова пространства

H_{o r b} \otimes H_{i n t r i n s i c}

$H_{orb}\otimes H_{intrinsic}$ . Первый фактор описывает орбитальное состояние, где

X

$X$ и

P

$P$ определены, последняя описывает свойства системы, не зависящие от орбитального состояния, и включает в себя операторы

S_{k}

$S_k$ (но и обвинение в неповиновении).

Вальтер Моретти

Это лучшая квантовая интерпретация системы отсчета покоя .

СРС

@ValterMoretti В нерелятивистской квантовой механике спин вводится вручную. Меня интересует пространственная часть волновой функции, и я показываю, что

⟨ L^{2} ⟩ = 0

$\langle \textbf{L}^2\rangle=0$ (где математическое ожидание берется относительно волновой функции покоя).

СРС

@EmilioPisanty Я не понимаю, почему для квантовой частицы проблема иметь фрейм покоя. Вы имеете в виду принцип неопределенности?

Вальтер Моретти

@SRS То, что я написал, не зависит от релятивистской / нерелятивистской КМ, а только от существования представления группы из 3 вращений. Однако теперь ваша точка зрения более ясна. Это не связано с понятием спина.

Ответы (1)

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

Подсказка: покажите, что коммутатор $[L_i,p_j]$ пропорциональна $p_k$ . Следующий поставить $p=0$ .
Кто сказал, что у квантовой частицы (во всем, что не является собственным состоянием импульса плоской волны) изначально есть система покоя?
Ваш подход не правильный. Идея состоит в том, чтобы начать предполагать существование генератора $J$ глобальных вращений вокруг начала координат, что удовлетворяет соотношениям алгебры Ли $SO(3)$ и затем определить $S_k= J_k - (X \wedge P)_k$ . Это легко доказать, из CCR $X$ и $P$ что $S_k$ по-прежнему определяют отношения алгебры Ли представления $SO(3)$ и ездить с $X$ и $P$ . Возможно, это представление тривиально (т.е. спина нет), иначе $S_k$ определяют собственный угловой момент.
Также известен (возможно, неправильно) как угловой момент в системе покоя системы. На самом деле на квантовом уровне описание более тонкое, и существование нетривиальных $S_k$ соответствуют (используя теорему Стоуна фон Неймана) факторизации гильбертова пространства $H_{orb}\otimes H_{intrinsic}$ . Первый фактор описывает орбитальное состояние, где $X$ и $P$ определены, последняя описывает свойства системы, не зависящие от орбитального состояния, и включает в себя операторы $S_k$ (но и обвинение в неповиновении).
Это лучшая квантовая интерпретация системы отсчета покоя .
@ValterMoretti В нерелятивистской квантовой механике спин вводится вручную. Меня интересует пространственная часть волновой функции, и я показываю, что $\langle \textbf{L}^2\rangle=0$ (где математическое ожидание берется относительно волновой функции покоя).
@EmilioPisanty Я не понимаю, почему для квантовой частицы проблема иметь фрейм покоя. Вы имеете в виду принцип неопределенности?
@SRS То, что я написал, не зависит от релятивистской / нерелятивистской КМ, а только от существования представления группы из 3 вращений. Однако теперь ваша точка зрения более ясна. Это не связано с понятием спина.

СлучайныйПреобразование Фурье · Answer 1

Волновая функция покоя $\psi(\boldsymbol x,t)$ такой, что

0 \equiv ⟨ п ⟩ "=" \int_{р^{3}} ψ^{*} (Икс, т) (- я \nabla) ψ (Икс, т) г Икс

$\boldsymbol 0\equiv\langle \boldsymbol p\rangle=\int_{\mathbb R^3}\psi^*(\boldsymbol x,t)(-i\boldsymbol \nabla)\psi(\boldsymbol x,t)\ \mathrm d\boldsymbol x$

Если $\boldsymbol k\equiv\langle \boldsymbol p\rangle$ отличен от нуля, нам просто нужно переопределить волновую функцию:

ψ (Икс, т) \to е^{- я к \cdot Икс} ψ (Икс, т)

$\psi(\boldsymbol x,t)\to\mathrm e^{-i\boldsymbol k\cdot\boldsymbol x}\psi(\boldsymbol x,t)$ который удовлетворяет

⟨ p ⟩ \equiv 0

$\langle\boldsymbol p\rangle\equiv \boldsymbol 0$ по конструкции. Это просто перевод в импульсное пространство,

\tilde{ψ} (п, т) \to \tilde{ψ} (п - к, т)

$\tilde\psi(\boldsymbol p,t)\to \tilde\psi(\boldsymbol p-\boldsymbol k,t)$ которое, очевидно, имеет нулевое среднее значение.

В более общем случае, если у вас есть система из многих частиц, система покоя системы по определению является той, в которой $\langle\boldsymbol p\rangle\equiv\boldsymbol 0$ , где $\boldsymbol p$ обозначает полный линейный импульс:

п "=" \sum_{я} п_{я}

$\boldsymbol p=\sum_i \boldsymbol p_i$

Я ожидаю, что «система покоя» данной частицы также будет подчиняться $\langle p^2\rangle=0$ (и, следовательно, невозможно найти вообще). Это какая-то стандартная (неправильная) терминология, которую я упускаю? Поместить себя в кадр, в котором ожидаемый импульс равен нулю, — это хорошо, но это не означает, что частица «не движется» в этом кадре, как подразумевается «покоем» в «кадре покоя».
@EmilioPisanty Рамка отдыха означает $\langle \boldsymbol p\rangle=0$ только. Это не значит $\langle \boldsymbol p^2\rangle=0$ . Я постараюсь найти хорошую ссылку. Пока это просто терминология. «Кадр покоя» означает нулевой средний импульс; это не означает «вообще не двигаться» (что бы это ни значило). Говоря более классическим языком, система покоя набора частиц — это система, в которой полный импульс равен нулю; но там ненулевая дисперсия, $\Delta p\neq 0$ . Точно так же в КМ система покоя — это та, в которой полный импульс равен нулю; но есть и ненулевая дисперсия, $\Delta p\neq0$ .
Лучшее, что я смог найти на данный момент, это Cohen-Tannoudji, Quantum Mechanics, Volume 1, Chapter VII, Section B. Я посмотрю, смогу ли я найти что-нибудь получше.
$\langle p\rangle=0$ поскольку система покоя набора частиц имеет смысл, но квантовая частица не является ансамблем. Такое использование термина кажется мне совершенно безумным (но это ничего не говорит о том, используется он или нет). Ну что ж.
@AccidentalFourierTransform Представляет ли ваше второе уравнение преобразование волновой функции при галилеевском повышении или переводе?
Галилеев буст волновой функции более сложен, см. здесь .
@SRS «ускорение» было неправильным словом. Это просто переопределение. Перевод в импульсное пространство, если хотите.
@EmilioPisanty Интересно, что это, возможно, тот случай, когда некоторые интерпретации КМ (то есть ансамблевые или информационные интерпретации) делают это определение более естественным, чем другие (интерпретации, в которых одночастичная волновая функция имеет физическую реальность).
@AccidentalFourierTransform Ожидаемое значение $\textbf{L}^2$ ноль в остальной волновой функции кадра?
@SRS Нет. Возьмем, к примеру, атом водорода. $\langle \boldsymbol p\rangle=\boldsymbol 0$ но $\langle \boldsymbol L^2\rangle=\ell(\ell+1)$ .
@AccidentalFourierTransform Поэтому, в отличие от классической частицы, угловой момент которой равен нулю в системе покоя, для квантовой частицы он может быть ненулевым. Я прав?
@SRS классическая двойная система (электрон + протон) также имеет ненулевой угловой момент в системе покоя.

Как найти волновую функцию частицы в системе покоя?

СРС

Qмеханик

Эмилио Писанти

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

Вальтер Моретти

СРС

СРС

Вальтер Моретти

Ответы (1)

СлучайныйПреобразование Фурье

Эмилио Писанти

СлучайныйПреобразование Фурье

СлучайныйПреобразование Фурье

Эмилио Писанти

СРС

Кнчжоу

СлучайныйПреобразование Фурье

Рококо

СРС

СлучайныйПреобразование Фурье

СРС

СлучайныйПреобразование Фурье

Симметрия пространственной волновой функции, не зависящая от MLMLM_L?

Каков физический смысл коммутационных соотношений углового момента?

L^xL^x\hat{L}_{x} и L^yL^y\hat{L}_{y} не коммутируют... или коммутируют?

Квантовая механика в неинерциальной системе отсчета?

Имеют ли частицы разные спины в разных системах отсчета?

Коммутация оператора углового момента [закрыто]

Почему мы получаем фальшивые значения полуоборота для орбитального углового момента, если решаем это алгебраически?

Можно ли вывести квантовый оператор углового момента из его коммутационных соотношений с положением и импульсом?

Изменение системы отсчета для волновой функции: тот же модуль, но разные токи?

Эволюция состояния во времени