Атом водорода, какое волновое уравнение для ядра атома?

По сути, это уравнение Шрёдингера для свободной частицы, но важно отметить, что эта частица — не протон, а центр масс всего атома.

Это довольно подробно описано в достаточно строгих учебниках по квантовой механике (хотя в данный момент я не могу придумать конкретного примера), и основная идея звучит так:

• Вы начинаете с уравнения Шрёдингера для электронных и ядерных координат, т.е. с гамильтониана $$H = \frac{1}{2M}\mathbf p_N^2 + \frac{1}{2m}\mathbf p_e^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r_N-\mathbf r_e|}.$$
• Затем вы преобразуете свою систему в новый набор координат: одну для относительного движения и одну для центра масс. $$\begin{align} \mathbf r &= \mathbf r_e-\mathbf r_N &&& \mathbf R &= \frac{1}{M+m}\left(M\mathbf r_N+m\mathbf r_e\right) \\ \mathbf p &= \frac{M}{M+m}\mathbf p_e-\frac{m}{M+m}\mathbf p_N &&& \mathbf P &= \mathbf p_N+\mathbf p_e. \end{align}$$
• Вы проверяете, что новые координаты удовлетворяют правильным (каноническим) коммутационным соотношениям, т. е. что$[x_j,p_k] = [X_j,P_k] = i\hbar \delta_{jk}$и$[x_j,P_k]=0 = [X_j,p_k]$.
• Вы выражаете ядерные и электронные координаты как функции преобразованных координат, помещаете их в свой гамильтониан и работаете над преобразованием, чтобы получить $$H = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2 + \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|},$$ куда$\mu = \left(\frac1m+\frac1M\right)^{-1}$приведенная масса (сама по себе очень близка к$m$в пределе, где$m\ll M$).

Эта декомпозиция полностью разделяет вашу (изначально связанную) динамическую задачу на две отдельные и совершенно разные подзадачи, обычный электронный гамильтониан,

$$H_\mathrm{el} = \frac{1}{2\mu}\mathbf p^2 - \frac{Ze^2}{|\mathbf r|},$$ и гамильтониан центра масс, заданный только кинетическим членом свободных частиц, $$H_\mathrm{COM} = \frac{1}{2(M+m)}\mathbf P^2.$$ Затем это можно использовать для получения явного волнового уравнения для «ядерного» (фактически центра масс) движения. В простейшем случае это действительно просто свободная частица, но легко понять, как ее можно изменить, скажем,

• включают в себя явный потенциал, который конкретно касается движения ядер,
• добавить потенциал для дипольной ловушки , которая работает, добавляя$\mathbf R$-зависимый внешний потенциал, который связывает нерезонанс с электронным движением, которое затем "замораживает" эту степень свободы до$\mathbf R$-зависимое основное состояние с$\mathbf R$-зависимая энергия основного состояния, которая действует как ловушка для центра масс, или также
• учитывать импульс фотона, который поглощается электронными степенями свободы ,

среди многих возможных применений.

---

Да, и еще: в моей исходной процедуре нет ничего специфического для квантовой механики, и это разделение переменных также присутствует в существенно идентичной форме (т.е. вам нужно только поменять местами канонические коммутаторы для идентичного сохранения скобок Пуассона) в рамках классической Гамильтонова механика.

По закону сохранения импульса центр масс атома остается неподвижным. Это означает, что существует идеальная корреляция между волновыми функциями$\Psi$электрона и$\Phi$протона:

$$\Phi(x)=\Psi(-(M/m)x),$$

куда$M$масса протона и$m$это масса электрона.

Воздействие на энергетические уровни заключается в замене массы электрона уменьшенной массой.

Я пишу это, чтобы дополнить правильный ответ @BenCrowell и, на мой взгляд, неполный ответ @EmilioPisanty. По моему мнению, и, кажется, также Бену Кроуэллу, вопрос об ОП явно направлен на описание КМ волновой функции протона в модели водорода.

Обычный подход к учету влияния протона в задаче о водороде состоит в том, чтобы разделить гамильтониан на гамильтониан для поступательного движения центра масс и гамильтониан для относительного движения электрона и протона, которые имеют расстояние$\vec r=\vec r_\text{e} - \vec r_\text{p}$, которая является обобщенной координатой. (См. Ответ Эмилио Писанти.) Этот гамильтониан, описывающий относительное движение, предназначен для одной фиктивной частицы с электронным зарядом с уменьшенной массой.$\mu=\left(1/m_\text{e}+1/m_\text{p}\right)^{-1}$в центральном кулоновском потенциале$\frac {e}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}$с расстоянием$\vec r$от происхождения. В системе центра масс это единственный гамильтониан, необходимый для описания атома водорода. Для этого не зависящее от времени уравнение Шредингера гласит:

$$H\psi\left(\vec r\right)=\left(\frac {\vec p^2}{2\mu} - \frac{e^2}{4\pi \epsilon_0 |\vec r|}\right)\psi\left(\vec r\right)=E\psi\left(\vec r\right) \tag1$$ Решив это уравнение Шредингера, вы получите все собственные значения энергии атома водорода, включая эффект движения протона. Однако вы должны иметь в виду, что волновые решения $\psi\left(\vec r\right)$(собственные функции) получены для этой фиктивной частицы приведенной массы $\mu$описывающая комбинированную протон-электронную систему, а не для электрона или для самого протона.

Таким образом, возникает вопрос, можно ли и каким образом описать электрон и протон по отдельности с помощью волновых функций, дающих, например, их пространственное распределение вероятностей. Бен Кроуэлл уже дал правильный краткий ответ на этот вопрос без вывода. Я пытаюсь показать, как это можно получить из волновых функций$\psi\left(\vec r\right)$системы фиктивных частиц.

В системе отсчета центра масс вектор положения центра масс равен нулю, что дает

$$m_\text{e}\vec r_\text{e}+m_\text{p}\vec r_\text{p}=0 \tag 2$$ и $$\vec r_\text{e}=-\frac {m_\text{p}}{m_\text{e}}\vec r_\text{p} \tag 3$$ Вектор расстояния $\vec r$может быть выражен вектором положения электрона или протона $$\vec r=\vec r_\text{e} -\vec r_\text{p}=\vec r_\text{e}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right) \tag 4$$ Таким образом, волновое решение уравнения. (1) дает $$\psi \left(\vec r\right)=\psi\left(\vec r_\text{e}\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{p}}\right)=\psi\left(-\vec r_\text{p}\left(\frac {m_\text{e}+m_\text{p}}{m_\text{e}}\right)\right)$$ Следовательно, волновые функции для электрона и для протона $\psi_\text{e}\left(\vec r_\text{e}\right)$и $\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right)$, получаются из волновой функции $\psi\left(\vec r\right)$простым масштабированием координат. А волновая функция протона связана с функцией электрона масштабированием координат [уравнение. 2] $$\psi_\text{p}\left(\vec r_\text{p}\right) =\psi_\text{e}\left(-\vec r_\text{e} \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}\right) \tag 5$$

Это показывает, что волновые функции электрона и протона могут быть получены из волновой функции системы с уменьшенной массой и что они идеально коррелированы и сосредоточены вокруг центра масс, как показал Бен Кроуэлл в своем ответе. Волновая функция протона — это просто масштабированная версия волновой функции электрона. Это означает, например, что в основном s-состоянии атома максимальная плотность вероятности положения протона лежит на сферической оболочке вокруг центра тяжести с радиусом

$$r_\text{p}=\frac {m_\text{e}}{m_\text{p}} r_\text{e} \approx \frac {m_\text{e}}{m_\text{p}}r_{\text{Bohr}}\ \tag 6$$ что намного меньше боровского радиуса.

Я был бы признателен, если бы вы поправили меня или дали объяснение, если вы найдете что-то неправильное в этом дополнительном выводе.