Существует ли калибровочная теория SU(∞)SU(∞)SU(\infty) в квантовой теории поля?

Группы U ( Н ) и С U ( Н ) являются наиболее важными группами Ли в квантовой теории поля. Наиболее популярными являются U ( 1 ) , С U ( 2 ) , С U ( 3 ) группы (эти калибровочные группы образуют Стандартную модель). Но упоминается ли С U ( ∞ ) Калибровочная теория в физической литературе?

Примером такой теории может быть следующая: может быть г е С U ( ∞ ) гладкой и для функции ф ( Икс , у ) с пространственно-временной координатой Икс и новый С U ( ∞ ) степень свободы у он держит г ф ( Икс , у ) "=" ∫ д 4 у ( г ( Икс , у , у ′ ) ф ( Икс , у ′ ) ) . Теперь несложно определить подключение датчика и напряженность поля датчика.

Другими словами: некоторые квантовые состояния имеют вырождения, и эти вырождения основаны на особой симметрии (операторе), которая существует в квантовой системе. Если теперь оператор симметрии вырождения унитарный и локальная симметрия, то можно определить калибровочную теорию. Использовалась ли эта концепция в квантовой механике или такая концепция имеет смысл?

Другой интересный случай: можно выполнить следующую замену координат г ( Икс , у , у ′ ) "=" г ( Икс , Икс − у , Икс − у ′ ) и, следовательно, генераторы Т а ( у , у ′ ) определяется г ( Икс , у , у ′ ) "=" ∑ а г а ( Икс ) Т а ( у , у ′ ) становятся зависимыми от координаты пространства-времени. Другой вопрос: можно ли определить зависящие от пространства-времени образующие алгебры Ли?

Как вы предлагаете определить С U ( ∞ ) ?
Здесь внутренние переменные у е р 4 представлять бесконечномерное векторное пространство; это векторное пространство является гильбертовым пространством.
С U ( Н ) не является даже векторным пространством.
Кроме того, ваша фраза не имеет для меня особого смысла в целом. Не могли бы вы попробовать перефразировать его?
Я предполагаю, что г — унитарный оператор, действующий на внутреннюю степень свободы у . Поскольку линейные операторы можно рассматривать как бесконечномерные матрицы, а векторы — это функции, я говорил о матричных представлениях С U ( ∞ ) .
Прежде чем определить какое-либо представление, можете ли вы определить С U ( ∞ ) ?
Космос С U ( ∞ ) определяется как множество всех операторов е Икс п ( я Λ ) где Λ является оператором в гильбертовом пространстве и имеет место т р ( Λ ) "=" ∫ д 4 у Λ ( у , у ) "=" 0
я весьма уверен С U ( ∞ ) это не вещь, но в конформной теории поля вы имеете дело с вещами, называемыми алгебрами Каца-Муди (аффинной Ли), которые являются бесконечномерными расширениями ваших обычных алгебр. Обычно пишется так U ^ ( 1 ) , С U ^ ( 2 ) , и т. д.

Ответы (2)

Комментарии к вопросу (v2):

  1. Идея рассматривать плоские большие Н с → ∞ ограничение в С U ( Н с ) КХД восходит к Ref. 1.

  2. В теории мембран светового конуса , впервые представленной в работе Ref. 2, группа С U ( ∞ ) естественно отождествляется с сохраняющими площадь диффеоморфизмами С Д я ф ф 0 ( Т 2 ) на торе Т 2 связано с личностью.

  3. Конкретно, предложение ОП напоминает разложение в ряд Фурье дополнительного (компактного) пространственно-временного измерения. Такие упражнения обычны в теории струн.

Использованная литература:

  1. Г. 'т Хоофт, Теория плоских диаграмм для сильных взаимодействий, Nucl. физ. В72 (1974) 461 .

  2. Дж. Голдстоун, неопубликовано; Дж. Хоппе, доктор философии Массачусетского технологического института. Диссертация, 1982.

По-видимому, на arxiv.org есть несколько тысяч ссылок на «SU(\infty)», и некоторые из них определенно говорят о калибровочных полях или полях Янга-Миллса.

Я подозреваю, что иногда это будет просто способ говорить о большом N-пределе SU(N), т. е. не ссылаясь на буквальную SU(∞) теорию поля, а скорее на N→∞-предел некоторого величина в SU(N) теории поля.

Спасибо за Ваш ответ. Я спросил, возможно ли, чтобы генераторы лим Н ↦ ∞ С U ( Н ) группы явно зависят от пространства-времени. Генераторы теорий Янга-Миллса, таких как КХД, являются постоянными матрицами (матрицами Гелл-Манна), но возможно ли для теории поля, что генераторы явно зависят от пространственно-временной координаты?
@kryomaxim Я думаю, что тот факт, что вы выбираете основу для конечной группы, заключается в том, что она конечна. Вы должны были бы рассматривать любую теорию, которую вы разрабатываете, без учета основы. Если все работает нормально, я полагаю, что это работает. Я провожу аналогию с тем, как математики имеют дело с бесконечномерными векторными пространствами.
Даже для группы Лоренца, с которой, как я понимаю, вы хотите, чтобы ваша обобщенная SU(N) коммутировала, сами матрицы не зависят от координат, хотя, конечно, они представляют собой генераторы, зависящие от координат. Интересно, связан ли ваш вопрос с тем фактом, что бесконечное N обычно разграничивает бесконечные множества целых чисел, которые при преобразовании Фурье составляют непрерывные поверхности типа фазового пространства, см. , поскольку ответ Qmechanic адресован в 2 и 3; но такие поверхности являются вспомогательными конструкциями мирового листа, а не нашим пространством-временем.
Существует ли калибровочная теория SU(∞)SU(∞)SU(\infty) в квантовой теории поля?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v