Во-первых, я математик, так что простите меня за возможные банальные ошибки и плохое знание физики.
В КТП мы просто начинаем с поля (скалярного, векторного, спинориального, калибровочного и т. д.), поэтому я хотел бы знать, что такое наблюдаемые и состояния в этом контексте .
В КТП общий подход будет заключаться в использовании пространства Фока (для случая свободного поля, поскольку я действительно не знаю, будет ли это верно для взаимодействующего) и спуске, используя частицы, связанные с операторами и , к частицам КМ (я действительно не знаю, верно ли это, потому что число частиц непостоянно и зависит от наблюдателя) или используя интерпретацию волнового функционала (функционал на пространстве конфигураций поля, удовлетворяющий уравнению Шредингера) , хотя я слышал, что этот функционал не является лоренц-ковариантным (кстати, есть доказательства?). Однако, согласно этой статье (Дэвид Джон Бейкер, Против полевых интерпретаций квантовой теории поля, http://core.ac.uk/download/pdf/11921990.pdf ), волновая функциональная интерпретация эквивалентна пространству Фока, поэтому в любом случае такая интерпретация не является физически разумной.
В AQFT, напротив, операторы уже заданы (поэтому у нас уже есть наблюдаемые). Более того, если лоренцево многообразие глобально гиперболично, гиперповерхность Коши была бы возможной интерпретацией состояния.
С другой стороны, действительно ли квантованные поля данной КТП наблюдаемы в том смысле, что они измеряют?
Теперь, добавляя калибровочные поля, все будет группоидным, а наблюдаемые будут определяться на частных по калибровочной группе. В этом контексте я действительно не видел ничего, написанного о состояниях, и я понятия не имею, каким будет пространство Фока. Наивным подходом было бы рассматривать интерпретацию волнового функционала с доменом в группоиде.
Кроме того, если мы ограничимся TQFT, CFT или другим конкретным классом теорий поля, будет ли решена вся эта проблема?
Алгебраический подход дает лучшее представление о том, что представляют собой состояния и наблюдаемые в квантовой теории, и это справедливо и для бесконечномерных систем.
В современной математической терминологии наблюдаемые квантовой механики — это элементы топологической системы. -алгебра, а состояния являются объектами ее топологического дуала, положительными и имеющими норму единица. Наиболее распространенный случай – взять -алгебра, чтобы быть или (фон Неймана) алгебра; однако при таком выборе неограниченные операторы, строго говоря, не являются наблюдаемыми (но их можно «присоединить» к алгебре, если их спектральные проекции находятся в алгебре). Преимущество этого абстрактного подхода состоит в том, что с помощью конструкции GNS можно сразу связать гильбертово пространство с заданным -алгебра (и конкретное состояние), где элементы алгебры действуют как линейные операторы, а данное состояние как среднее относительно определенного вектора гильбертова пространства.
В обычных физических терминах наблюдаемыми считаются только самосопряженные операторы, поскольку наблюдаемая должна иметь реальный спектр (и может быть связана с сильно непрерывной группой унитарных операторов). Квантовое поле, как правило, считается наблюдаемой в КТП (оно самосопряженное, но неограниченное, поэтому часто оно было бы присоединено к алгебра, порожденная своим семейством экспонент, операторами Вейля); и вполне возможно, теоретически, измерить его среднее значение по состояниям (реально сделать это в эксперименте, это совсем другая проблема).
Квантовые теории поля почти всегда представлены в фоковских пространствах. Однако, поскольку группа Гейзенберга, связанная с бесконечномерным симплектическим пространством, не является локально компактной, теорема Стоуна-фон Неймана не выполняется, и существует бесконечно много неприводимых неэквивалентных представлений отношений Вейля , причем пространство Фока является лишь одним из них. Чтобы еще больше усложнить ситуацию, теорема Хаага утверждает, что, грубо говоря, свободные и взаимодействующие представления Фока унитарно неэквивалентны (но это проблема в основном для теории рассеяния, а не на фундаментальном уровне).
«Интерпретация волнового функционала» (никогда не слышала такой терминологии) — это всего лишь функториальная природа второй процедуры квантования, которая может сопоставить каждому гильбертовому пространству соответствующее фоковское пространство. Это связано с Сигалом , и вы также можете проконсультироваться с Нельсоном . Идея состоит в том, что в каждом гильбертовом пространстве можно связать гауссово вероятностное пространство такое, что фоковское пространство унитарно эквивалентен , и карта между и ( ) — функтор в категории гильбертовых пространств с самосопряженными и унитарными отображениями как морфизмами. Эта точка зрения становится очень естественной, если кто-то заинтересован в изучении КТП с помощью стохастического интегрального подхода (формулы Фейнмана-Каца) в евклидовом времени.
юггиб
Арнольд Ноймайер