Гильбертово пространство (квантовой) калибровочной теории

В невзаимодействующем случае гильбертово пространство, подходящее для теории калибровочного поля любого спина, является фоковским пространством над одночастичным пространством решений классических уравнений свободного калибровочного поля для того же спина. (Для спина 1 ассоциированные частицы были бы невзаимодействующими глюонами, если бы они существовали.) Это пространство не содержит призраков. Различия для разных спинов как раз и заключаются в разной структуре классических уравнений поля.

Это гильбертово пространство можно описать во многих различных, но эквивалентных формах.

Как упоминается в другом ответе, он обычно представляется с помощью БРСТ-когомологий, поскольку это дает наиболее прослеживаемую перенормированную теорию возмущений. Здесь появляются призраки, поскольку БРСТ-гильбертово пространство встроено в большее пространство с неопределенным внутренним произведением. (Свободное от призраков физическое гильбертово пространство восстанавливается как частное ядра БРСТ-заряда$Q$по образу$Q$. С$Q$удовлетворяет$Q^2=0$, она аналогична внешней производной$d$, что удовлетворяет$d^2=0$, и порождает БРСТ-когомологии так же, как$d$порождает традиционные когомологии де Рама.)

Для абелевой калибровочной теории поля существуют более элементарные описания невзаимодействующего гильбертова пространства. Например, свободное квантовое электромагнитное поле находится в гильбертовом пространстве функций, суммируемых с квадратом.$A(p)$импульс светового конуса$p$($p^2=0,p_0>0$) в вырожденном, но положительно полуопределенном скалярном произведении, где все функции с$A(p)$параллельно$p$имеют нулевую норму. Это дает стандартное описание фотонов в квантовой оптике. (См., например, статью «Что такое фотон?» в Главе B2: Фотоны и электроны моего FAQ по теоретической физике на http://arnold-neumaier.at/physfaq/physics-faq.html .

Гильбертово пространство, подходящее для теории взаимодействующих калибровочных полей, неизвестно. Это неудивительно, поскольку неизвестно ни одной теории взаимодействующих полей в 4D. То немногое, что известно о ситуации в этом случае, можно найти в недавней книге Ф. Строкки «Введение в непертурбативные основы квантовой теории поля», Оксфордский ун-т. Пресс, 2013.

Гильбертово пространство калибровочной теории определяется БРСТ-симметрией или, точнее, БРСТ-когомологиями.

В формализме континуального интеграла необходимо ввести духов, чтобы зафиксировать калибровку неабелевой теории. Теперь эта теория содержит состояния с отрицательной нормой, следовательно, это псевдогильбертово пространство. Лагранжиан этой теории обладает дополнительной симметрией, т. е. симметрией, в которой духовые поля действуют как бесконечно малые параметры. С этой симметрией связаны как нётеровский ток, так и нётеровский заряд, последний называется БРСТ-зарядом. БРСТ-заряд является нильпотентным оператором, т.е.$Q^2=0$. Такое поведение позволяет определить когомологии, которые можно понимать следующим образом:

Поскольку БРСТ-заряд является квантовым оператором, мы можем спросить себя, что происходит, когда мы позволяем ему воздействовать на некоторое состояние.$|\Psi\rangle$. Поскольку оператор$Q$нильпотент,$Q|\Psi\rangle=0$если$|\Psi\rangle$можно записать как$|\Psi\rangle=Q|\Phi\rangle$, т.е.

Но существует также возможность исчезновения состояний под действием заряда БРСТ без их определения$Q|\Phi\rangle$. Такие состояния называются когомологиями оператора заряда. Они идентифицируются как физические состояния теории и не содержат призраков или антипризраков. Кроме того, можно утверждать, что когомологии не меняются при эволюции за унитарное время из-за того, что гамильтониан коммутирует с$Q$.

Формализм БРСТ также работает для теории струн, которая содержит частицы со спином 2, т.е. гравитоны.