Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Question

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Александрнашжанг

Недавно я сам изучал неабелеву калибровочную теорию поля. Большое спасибо @ACuriousMind, так как с его помощью я добился определенного прогресса.

Я пытаюсь расширить уравнение поля Дирака с помощью связи на $SU(2)$ калибровочное поле:

(я γ^{мю} Д_{мю} - м) ψ "=" 0

$(i{\gamma}^{\mu }{D}_{\mu}-m)\psi =0$ где

Д_{мю} "=" \partial_{мю} + я г А_{а}^{мю} Т_{а}

${ D }_{ \mu }=\partial _{ \mu }+ig{ A }_{ a }^{ \mu }{ T }_{ a }$ в

T_{a}

${ T }_{ a }$ это

S U (2)

$SU(2)$ Генератор групп Ли с

[T_{a}, T_{b}] = i f^{a b c} T_{c}

$[{ T }_{ a },{ T }_{ b }]=i{ f }^{ abc }{ T }_{ c }$ , и

γ^{μ}

${\gamma}^{\mu }$ матрицы Дирака. Когда я явно пишу первую часть уравнения Дирака со спинорной формой

ψ = (ϕ, χ)^{T}

$\psi=(\phi,\chi)^T$ , я получаю (пространственная часть):

(\begin{matrix} 0 & о^{я} \\ - о^{я} & 0 \end{matrix}) \partial_{я} (\begin{matrix} \begin{matrix} ф \\ х \end{matrix} \end{matrix}) + я г (\begin{matrix} 0 & о^{я} \\ - о^{я} & 0 \end{matrix}) А_{а}^{я} Т_{а} (\begin{matrix} \begin{matrix} ф \\ х \end{matrix} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\partial _{ i }\begin{pmatrix} \begin{matrix} \phi \\ \chi \end{matrix} \end{pmatrix}+ig\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}{ A }_{ a }^{ i }{ T }_{ a }\begin{pmatrix} \begin{matrix} \phi \\ \chi \end{matrix} \end{pmatrix}$ Моя проблема: я знаю только линейное представление ${ T }_{ a }$ это спиновая матрица Паули из учебника, но они представляют собой набор 2-мерных матриц. В приведенном выше выражении мне нужно знать 4-мерную матрицу ${ T }_{ a }$ из-за того, что спинор является 4-мерным, я проверил какую-то тестовую книгу, но не нашел явного утверждения о 4-мерной матрице.

Итак, как упоминалось в заголовке, что такое 4-мерное представление $SU(2)$ генераторы, или как я могу его рассчитать?

Никос М.

это комбинация (обычных) 2-мерных матриц Паули (в некоторых представлениях)

Александрнашжанг

Танки! но можете ли вы описать процедуру объединения более подробно? Я не очень знаком с теорией групп Ли, пожалуйста.

Никос М.

взгляните сюда: en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , physicsforums.com/threads/… , фактически матрицы Паули являются генераторами

S U (2)

$SU(2)$

Никос М.

см. также эти заметки об унитарных группах и представлениях cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter9.pdf

Александрнашжанг

Можете ли вы сказать мне явно, когда я выполняю расчет выше, какое матричное представление я могу использовать, дозируйте его исходной матрицей Пуали 2 * 2?

σ_{i}

$\sigma_{i}$ ?

Никос М.

Да, вы можете использовать матрицы Паули. Обратите внимание, что существуют комбинации матриц Паули, которые также являются генераторами (так же, как векторный базис может иметь другие комбинации векторов, которые также являются базисом)

Александрнашжанг

но в математике, как сделать матричное произведение с 4 * 4 (

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ ) матрица и матрица 2*2(

σ_{i}

$\sigma_{i}$ )? или, я могу показаться

γ^{μ}

$\gamma^{\mu}$ как число, и возьмем матричное произведение с

σ_{i}

$\sigma_{i}$ ?

Никос М.

у вас есть матрицы внутри других матриц (тензорный продукт) в вашем вопросе, поэтому конечная размерность равна 4

Александрнашжанг

эм, позвольте спросить прямо: когда я беру матричный продукт

γ^{μ} σ_{i}

$\gamma^{\mu}\sigma_{i}$ , Доза равна (для мгновенного

σ_{x}

$\sigma_{x}$ ):

(\begin{matrix} 0 & о^{я} \\ - о^{я} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} о^{я} & 0 \\ 0 & - о^{я} \end{matrix})

$\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { \sigma }^{ i } & 0 \\ 0 & -{ \sigma }^{ i } \end{pmatrix}$ >? Если это неправильно, то что правильно?

Никос М.

см. эти заметки о неабелевых калибровочных теориях , размерности группы Ли (параметры) не обязательно должны совпадать с размерностями пространства-времени, кроме того, матрицы Паули фактически являются (бесконечно малыми) генераторами

S U (2)

$SU(2)$

Александрнашжанг

en, Спасибо за ваши усилия, чтобы помочь, спасибо, прочитав примечание на странице 33, я финансирую экспресс в уравнении 9.15:

\frac{1}{2} i W_{μ}^{a} \bar{ψ} γ^{μ} t_{a} ψ

$\frac { 1 }{ 2 } i{ W }_{ \mu }^{ a }\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ , как иметь дело с этим членом в следующем расчете. В частности, ток фермиона в уравнении 10.13:

\bar{ψ} γ^{μ} t_{a} ψ

$\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ .Как это записать в полной матричной форме?

Ответы (1)

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

это комбинация (обычных) 2-мерных матриц Паули (в некоторых представлениях)
Танки! но можете ли вы описать процедуру объединения более подробно? Я не очень знаком с теорией групп Ли, пожалуйста.
взгляните сюда: en.wikipedia.org/wiki/Pauli_matrices , physicsforums.com/threads/… , фактически матрицы Паули являются генераторами $SU(2)$
см. также эти заметки об унитарных группах и представлениях cmth.ph.ic.ac.uk/people/d.vvedensky/groups/Chapter9.pdf
Можете ли вы сказать мне явно, когда я выполняю расчет выше, какое матричное представление я могу использовать, дозируйте его исходной матрицей Пуали 2 * 2? $\sigma_{i}$ ?
Да, вы можете использовать матрицы Паули. Обратите внимание, что существуют комбинации матриц Паули, которые также являются генераторами (так же, как векторный базис может иметь другие комбинации векторов, которые также являются базисом)
но в математике, как сделать матричное произведение с 4 * 4 ( $\gamma^{\mu}$ ) матрица и матрица 2*2( $\sigma_{i}$ )? или, я могу показаться $\gamma^{\mu}$ как число, и возьмем матричное произведение с $\sigma_{i}$ ?
у вас есть матрицы внутри других матриц (тензорный продукт) в вашем вопросе, поэтому конечная размерность равна 4
эм, позвольте спросить прямо: когда я беру матричный продукт $\gamma^{\mu}\sigma_{i}$ , Доза равна (для мгновенного $\sigma_{x}$ ): $(\begin{matrix} 0 & о^{я} \\ - о^{я} & 0 \end{matrix}) (\begin{matrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix}) "=" (\begin{matrix} о^{я} & 0 \\ 0 & - о^{я} \end{matrix})$ $\begin{pmatrix} 0 & { \sigma }^{ i } \\ -{ \sigma }^{ i } & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} { \sigma }^{ i } & 0 \\ 0 & -{ \sigma }^{ i } \end{pmatrix}$ >? Если это неправильно, то что правильно?
см. эти заметки о неабелевых калибровочных теориях , размерности группы Ли (параметры) не обязательно должны совпадать с размерностями пространства-времени, кроме того, матрицы Паули фактически являются (бесконечно малыми) генераторами $SU(2)$
en, Спасибо за ваши усилия, чтобы помочь, спасибо, прочитав примечание на странице 33, я финансирую экспресс в уравнении 9.15: $\frac { 1 }{ 2 } i{ W }_{ \mu }^{ a }\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ , как иметь дело с этим членом в следующем расчете. В частности, ток фермиона в уравнении 10.13: $\overset { - }{ \psi } { \gamma }^{ \mu }{ t }_{ a }\psi$ .Как это записать в полной матричной форме?

Qмеханик · Answer 1

Комментарий к вопросу (v4): OP, кажется, эффективно объединяет пространственно-временные симметрии и внутренние калибровочные симметрии. Они действуют в разных представлениях, точнее, как тензорное произведение представлений.

Например, фермион $\psi$ несет два типа индексов, скажем $\psi^{\alpha i}$ , $\alpha=1,2,3,4,$ и $i=1,2$ . Фермион действует

как $4$ -мерное спинорное представление Дирака при преобразованиях Лоренца.
как $2$ -мерное фундаментальное представление калибровочной группы $SU(2)$ при калибровочных преобразованиях.

Точно так же $4\times 4$ Матрицы Дирака $\gamma^{\mu}$ и $2\times 2$ $SU(2)$ генератор калибровочной группы $T^a$ действуют на различные представления. Продукт $\gamma^{\mu}$ и $T^a$ является тензорным произведением. В частности, термин $\gamma^{\mu}T^a\psi$ в формуле ОП снова несет два типа индексов и оценивается как

(γ^{мю} Т^{а} ψ)^{α я} "=" (γ^{мю})^{α}_{β} (Т^{а})^{я}_{Дж} ψ^{β Дж} .

$(\gamma^{\mu}T^a\psi)^{\alpha i}~=~(\gamma^{\mu})^{\alpha}{}_{\beta}~ (T^a)^{i}{}_{j}~\psi^{\beta j}.$

em, Доза, которую вы имеете в виду, поскольку симметрия SU (2) является внутренней (не включает пространство-время), представление генератора SU (2) всегда имеет матрицу 2 * 2 puali, когда ковариантная производная воздействует на спинор 4 * 1 ( для SU(2) это 2*1) ?Пожалуйста, продолжайте уделять внимание этому посту, спасибо!
Отлично!! Спасибо за мощную помощь! Думаю, я понимаю, что вы имеете в виду. Я записываю, пожалуйста, проверьте это, если это неправильно, пожалуйста, укажите, если это правильно, также, пожалуйста, скажите мне, спасибо!
Отлично! Спасибо за вашу мощную помощь! Думаю, я понял. Я запишу это, пожалуйста, проверьте это, если это неправильно, пожалуйста, укажите, если это правильно, также, пожалуйста, скажите мне, спасибо! ** Как вы имеете в виду, поле Дирака $\psi$ является тензорным произведением его пространственно-временной части и внутренней части как $\psi ={\psi}^{\alpha}\bigotimes {\psi}_{i}$ , Таким образом, выражение ${\gamma}^{\mu}{T}^{a}\psi =({\gamma}^{\mu}{ \bigotimes T }^{a})({\psi}^{\alpha}\bigotimes {\psi}_{i})=({\gamma}^{\mu}{\psi}^{\alpha})\bigotimes {(T}^{a}{\psi}_{i})$ , результатом является вектор-столбец 8*1, и каждый элемент ${({\gamma}^{\mu}{T}^{a}\psi)}^{\alpha i}$ **

Каково четырехмерное представление генераторов SU(2)SU(2)SU(2)?

Александрнашжанг

Никос М.

Александрнашжанг

Никос М.

Никос М.

Александрнашжанг

Никос М.

Александрнашжанг

Никос М.

Александрнашжанг

Никос М.

Александрнашжанг

Ответы (1)

Qмеханик

Александрнашжанг

Александрнашжанг

Александрнашжанг

Заряд поля под действием группы

Насколько уникальны квантовые числа, которые мы обычно используем?

Ряд Тейлора для унитарного оператора в Вайнберге

Каким образом неабелева калибровочная симметрия подразумевает квантование соответствующих зарядов?

Почему мы требуем, чтобы генераторы калибровочных теорий SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} были матрицами N×NN×NN \times N?

Группы Ли с одинаковой алгеброй

Вопрос о происхождении личности Уорда

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Правила ветвления для SU(3)SU(3)SU(3)

Почему представления, а не просто группы?