Существует ли метод дифференциации дробных квантовых состояний Холла помимо нахождения чисел Черна?

В своем заголовке вы спрашиваете о дробном КЭХ , но описание числа Черна, насколько мне известно, справедливо для целочисленного КЭХ . Я не так много знаю о FQHE, но позвольте мне сказать немного о IQHE, который я понимаю немного лучше.

В знаменитой статье TKNN установлено, что холловская проводимость при целочисленном заполнении пропорциональна топологическому инварианту, связанному с зонной структурой двумерных гамильтонианов. Этот топологический инвариант, число Черна, представляет собой целое число, которое говорит нам, как ленточная структура «закручивается» над зоной Бриллюэна (это «тор» в вашем вопросе) (более формально, число Черна классифицирует комплексное векторное расслоение, связанное с зонный гамильтониан). Запомните пока, что это свойство зонной структуры, вытекающее из описания, в котором пренебрегают электрон-электронными взаимодействиями, т. е. мы не имеем дело с «сильно коррелированной системой».

Побочный комментарий: учитывая своего рода$Z_2$эквивариантная (грубо говоря, инвариантная во времени) версия этого топологического инварианта привела к чрезвычайно горячей теме трехмерных топологических изоляторов , начатой ​​Фу и Кейном (среди прочих).

Дробный КЭХ не допускает одночастичного описания — то есть вы не можете понять свойства из зонной теории, как в ИКЭХ — это фаза поведения электрона, возникающая в результате взаимодействий . Таким образом, я не думаю, что описание числа Черна легко переносится.

FQHE допускает описание Черна-Саймонса Ландау-Гинзбурга , о котором я немного читал в этом обзоре 1992 года Шоу-Ченг Чжан . Член Черна-Саймонса в этой теории поля не следует путать с числами Черна! (Я не уверен, что это то, что вы делаете в вопросе, но я хочу прояснить это.) Понятия связаны математически, но я считаю, что физика здесь отличается.

Если бы вы только спрашивали об ИКЭХ, понимание TKNN о том, что состояния ИКЭХ классифицируются топологическим инвариантом, вероятно, исключает другие независимые описания. Меня могут смутить ваши намерения, но маловероятно, что может быть полезное описание состояний ИКЭХ, которое не использует топологию (топологический инвариант = устойчив к возмущениям, что, в конце концов, приводит к удивительным плато), и топологическая ситуация на данный момент действительно довольно хорошо изучена.

Пожалуйста, дайте мне знать, если что-то неясно или я сказал что-то не так. Я тоже только учусь в этой области.

Я мог бы вернуться и добавить кое-что о FQHE, если я когда-нибудь смогу понять это лучше.

Основные состояния двумерных систем с промежутками обычно подчиняются закону площади запутанности, а именно, если вы вычисляете энтропию$S_A = -\mathrm{Tr}(\rho_A \log_2 \rho_A)$оператора приведенной плотности$\rho_A$на подсистеме$A$, куда$A$удалена от границ системы, имеет гладкую границу, односвязна и стягиваема, то

$$S_A = c |\partial A| - \gamma + \dots$$ куда $|\partial A|$обозначает количество подсистем на границе области $A$, а также $c$есть константа пропорциональности. Здесь условия «далеко» и «гладко» можно рассматривать как относящиеся к естественному масштабу длины проблемы, который является корреляционной длиной или, грубо говоря, обратным значением спектральной щели гамильтониана.

Поправка ведущего порядка к этому поведению масштабирования,$\gamma$, является топологическим термином, который подсчитывает (логарифм) числа секторов суперселекции низкоэнергетического эффективного TQFT. (Точнее, логарифм полного квантового измерения.) Насколько всем известно, это универсальный термин. Разные теории с разным значением$\gamma$не могут быть отображены друг на друга локальными преобразованиями, так что это подходящая основа для классификации топологических состояний.