прямая сумма anyons?

В топологической фазе дробной квантовой холловской жидкости возбуждения основного состояния (квазичастицы) являются анионами , по крайней мере, предположительно . Тогда предполагается наличие плетеной термоядерной категории , неприводимые объекты которой находятся в 1-1 соответствии с различными типами элементарных квазичастиц.

Тензорное произведение объектов имеет очевидный физический смысл: это операция столкновения (слияния) квазичастиц...

... а как насчет прямой суммы?

• Тензорное произведение двух неприводимых объектов может быть прямой суммой неприводимых: что это означает физически с точки зрения результата столкновения квазичастиц?

• Позволять Икс быть неприводимым объектом категории слияния. Есть ли какая-либо физическая разница между (физическими состояниями, соответствующими) Икс и к Икс ⊕ Икс ?

Ответы (5)

Первоначально это был комментарий к отличному ответу Джо, но он стал слишком длинным. Я пытаюсь ответить на вопрос, что означает φ ⊕ φ.

Предположим, вы смотрите на уравнение

φ ⊗ φ ⊗ φ = φ ⊕ φ ⊕ I.

Это говорит о том, что при слиянии трех φ-частиц существует два различных способа получения φ и один способ получения I. Два способа (а) и (б) ниже; единственный способ произвести I это (c):

(a) объединить φ ⊗ φ, чтобы получить I, а затем соединить φ ⊗ I, чтобы получить φ;

(b) объединить φ ⊗ φ, чтобы получить φ, а затем соединить φ ⊗ φ, чтобы получить φ.

(c) объединить φ ⊗ φ, чтобы получить φ, а затем соединить φ ⊗ φ, чтобы получить I;

Эти три состояния ортогональны, и вы можете считать их базисными состояниями гильбертова пространства φ ⊗ φ ⊗ φ. При подсчете этих различных способов вы должны сохранять фиксированный порядок, в котором вы соединяете частицы. Если вы хотите изменить этот порядок, вы должны применить то, что физики называют F-матрицей (возможно, несколько раз), чтобы изменить этот базис.

Один из способов думать об этом состоит в том, что тензорное произведение соответствует совместному состоянию двух систем, а прямое произведение — суперпозиции состояний. Когда вы сплавляете частицы, вы делаете измерение. Приведенное выше уравнение подразумевает, что если у вас есть три аниона Фибоначчи, их гильбертово пространство разбивается на два сектора. В одном из них (двумерном), когда вы объедините все три аниона, вы получите анион Фибоначчи. В другом (одномерном), когда вы сплавите все три аниона, вы получите состояние вакуума. То, что вы получите, когда объедините все три эниона, не зависит от порядка, в котором вы это делаете (если только вы не соедините эти энионы с другими энионами перед их слиянием, как вы делаете квантовые вычисления с энионами).

Это снова очень хороший ответ, и он приближается к тому, что я ищу. Но у меня все еще есть ощущение, что вы больше объясняете, что означает φ ⊗ φ ⊗ φ, а не то, что означает φ ⊕ φ. Я ищу нечто вроде: «Если у вас есть физическая система, гильбертово пространство которой равно φ ⊕ φ, то вы можете выполнить следующее измерение и получить результат А, тогда как если у вас есть физическая система, гильбертово пространство которой равно φ ⊕ φ, есть φ, и вы сделаете то же самое измерение, вы получите результат B».
Если у вас есть физическая система, гильбертово пространство которой есть A ⊕ A, вы можете думать об этом как о прямой сумме двух гильбертовых пространств, каждое из которых является копией A. То есть система находится либо в состоянии в одном из гильбертовых пространств, в состоянии в другом или в суперпозиции двух состояний из каждого из них. Как сказал Джо Фицсаймонс, это, по сути, двойное вырождение пространства.
@Joe: Это что-то физическое или нефизическое? Вот аналогия, которую я имею в виду (возможно, поэтому я так запутался): в квантовой механике вектор в в моем гильбертовом пространстве ЧАС представляет состояние системы. я могу взять сумму в + в знак равно 2 в , и это все еще вектор в ЧАС , но эти два вектора в а также 2 в , несмотря на то, что они отличаются ЧАС , представляют одно и то же физическое состояние. Происходит ли что-то подобное с ф против ф + ф ?
Подумайте об электроне в некотором гильбертовом пространстве. ЧАС . Либо он имеет вращение вверх, либо вращение вниз. Если взять гильбертово пространство ЧАС чтобы быть набором возможных состояний электрона, учитывая, что он имеет спин вниз, то состояние электрона с произвольным спином является гильбертовым пространством ЧАС ⊕ ЧАС ; две копии гильбертова пространства ЧАС . За ф ⊕ ф , вы, по сути, добавляете в систему дополнительный (возможно, скрытый) кубит. За ф ⊕ ф ⊕ ф , вы добавляете дополнительный qutrit.
@Питер. Да, я понимаю это. Но в случае с электроном существуют эксперименты, которые могут отличить состояние «спин вниз» от состояния «либо спин вниз, либо вверх» (и, ладно, нужно измерять вероятности, так что на самом деле нужно повторить тот же эксперимент много раз).
@André: Для всех действительно есть эксперименты, которые будут различать две копии в φ ⊕ φ для любого случая, когда φ ⊕ φ возникает естественным образом. Давайте рассмотрим случай φ ⊗ φ ⊗ φ = φ ⊕ φ ⊕ I выше. Как я описал в своем ответе, две копии φ являются результатом слияния анионов. Если вы еще не слили энионы, есть эксперименты по различению этих состояний. После того, как вы слили энионы, результаты слияний (если вы их записали) будут различать состояния. Если вы их не записали, то они неразличимы.
Продолжение комментария: эта операция слияния анионов в каком-то смысле соответствовала бы измерению спина электрона в гильбертовом пространстве. ЧАС ⊗ ЧАС , а затем перевести его в состояние замедления вращения. Если вы не запишете результат измерения, он будет утерян.
@André: это не то, что означает обозначение. ф + ф не добавляет два вектора, а создает двумерное векторное пространство из двух одномерных векторных пространств.
@André: полученное пространство ф ⊕ ф можно рассматривать как внутреннюю, но нелокальную часть гильбертова пространства. Определенные операции вызовут внутреннее вращение в этом дополнительном пространстве. Это означает, что мы можем иметь векторы состояния в этом внутреннем пространстве, которые являются ортогональными. Поскольку вероятности связаны с квадратами амплитуд, эта многомерность гильбертова пространства будет важна, когда вы будете рассматривать интерференционные эксперименты (очень похожие на эксперимент с двумя щелями).
Отличие от обычных спиновых состояний состоит в том, что эти топологические гильбертовы пространства не являются локализованным свойством одной частицы. Внутреннее пространство похоже на топологическую часть гильбертова пространства, за неимением лучшей формулировки. Состояние внутреннего пространства не может быть определено локальным измерением, а требует какого-то нелокального процесса, которым обычно является плетение.
В этой ветке комментариев люди, похоже, имеют в виду ф как если бы это было гильбертово пространство. Во всех интересных примерах это даже не векторное пространство . Гильбертовы пространства Е н д ( ф ) а также Е н д ( ф ⊕ ф ) (одномерные и четырехмерные соответственно).
@Noah: Если End(φ ⊕ φ) имеет размерность 4, чему он соответствует физически? И какое двумерное векторное пространство, соответствующее φ, получается из уравнения φ ⊗ φ ⊗ φ = φ ⊕ φ ⊕ I?
Я думаю, что это уравнение говорит о том, что гильбертово пространство для трехчастичной системы является 5-мерным (что примерно так и должно быть, поскольку каждая частица имеет внутренние степени свободы золотого сечения). Одно из этих состояний — это состояние, которое вы бы получили, если бы аннигилировали, а затем создали их всех из вакуума. Остальные четыре соответствуют способам слияния их в одну частицу, а затем их обратного разделения (существует 2 способа сделать каждый, так что всего 4).
Для любых ионов два способа слияния их в единую частицу — это двумерное векторное пространство, что важно в теории. У этой штуки есть имя, которое я могу использовать, чтобы говорить с математиками?
Посмотрите на первые два предложения главы 3 конспектов лекций Пахоса и последнее предложение на странице 10.
Способы слияния в одну частицу ЧАС о м ( ф ⊗ ф , ф ) которое действительно является векторным пространством (в отличие от ф сам). Именно это я и пытался подчеркнуть: именно пространства Хомов важны физически больше, чем сами объекты.
@NoahSnyder: это неправильно. Для любого Фибоначчи ф ⊗ ф ⊗ ф знак равно я ⊕ ф ⊕ ф то есть ровно 3 уровня. Каждый ф в прямом произведении соответствует одному измерению. (см., например, стр. 17 сайта rockpile.phys.virginia.edu/trieste08.pdf ).
Итак, ф ⊗ ф ⊗ . . . ⊗ ф , похоже, мы имеем в виду то, что Пачос называет слитным гильбертовым пространством М н , который разбивается на сектора, соответствующие я а также ф . Насколько я могу судить, Пахос никогда не упоминает Хом в определении этого.
@JoeFitzsimons Хороший вопрос. Меня как-то сбило с толку то, что 5 тоже является числом Фибоначчи. Таким образом, гильбертово пространство для системы n частиц равно ЧАС о м ( ф ⊗ н , ф ) ⊕ ЧАС о м ( ф ⊗ н , 1 ) ?
@Noah: Это зависит от вашего точного определения «гильбертова пространства для н -система частиц", будь то ЧАС о м ( ф ⊗ н , ф ) ⊕ ЧАС о м ( ф ⊗ н , 1 ) или просто ЧАС о м ( ф ⊗ н , 1 ) . «Слияние гильбертова пространства» Пачоса М н является первым.
@Peter Глядя на простые конкретные модели, такие как топологические сверхпроводники p-волны, кажется, что гильбертово пространство n-частиц должно быть прямой суммой по всем секторам. Но поскольку плетение не может смешивать состояния в разных секторах, кажется, что одного сектора достаточно для квантовых вычислений. Может быть, это рассуждение, лежащее в основе определения Пахоса. Но я не уверен.
Я уверен, что видел, как это определяется в обоих направлениях. Какой из них более полезен, вероятно, зависит от того, для чего вы хотите его использовать, но я полагаю, что определение его как суммы по всем секторам с меньшей вероятностью приведет к путанице среди людей, изучающих материал.

Простые объекты в категории плетеного синтеза соответствуют возможным типам частиц. В простейшем важном примере есть два типа частиц 1 и ф . (Ну, 1 — это вакуум, так что это немного странный тип частиц.)

Непростые объекты не имеют внутреннего физического смысла, ф ⊕ ф просто означает любую систему, «которая может быть одной частицей, но двумя разными способами», но не делает никаких заявлений о том, что это за два разных способа.

Тензорное произведение простых объектов имеет внутренний смысл, это означает рассмотрение системы с несколькими частицами в ней.

Поскольку базовая категория имеет только конечное число объектов, каждый раз, когда у вас есть система из нескольких частиц, вы можете разбить гильбертово пространство как прямую сумму состояний, в которых вы объединили их все вместе в одну частицу (либо 1, либо ф ). Например, поскольку ф ⊗ ф ⊗ ф ≅ ф ⊕ ф ⊕ 1 это означает, что гильбертово пространство для трехчастичной системы является трехмерным и распадается на двумерное пространство вещей, которые ведут себя как одна частица (это ф ⊕ ф часть) и одномерное пространство вещей, которые ведут себя как вакуум (это 1 часть). В таком случае ф ⊕ ф имеет физический смысл, обусловленный тем, что он появляется как слагаемое ф ⊗ 3 , но другие проявления ф ⊕ ф внутри других тензорных произведений имеют различный физический смысл.

В общем, гильбертово пространство, относящееся к системе k частиц Икс а 1 ⊗ Икс а 2 ⊗ … ⊗ Икс а к представляет собой прямую сумму по всем типам частиц Икс я

⨁ Икс я ЧАС о м ( Икс а 1 ⊗ Икс а 2 ⊗ … ⊗ Икс а к , Икс я ) .

Из наших обсуждений в комментариях к моему ответу гильбертово пространство системы с н идентичный Икс -тип частиц не Е н д ( Икс ⊗ н ) но ЧАС о м ( Икс ⊗ н , я ) .
Я полностью переписал ответ на основе приведенного выше обсуждения. Надеюсь, теперь меньше ошибок.
@Peter Просто незначительная деталь. Не все анионы самодвойственны и, следовательно, Хом ( Икс ⊗ н , я ) может быть тривиальным. Для правил слияния Икс ⊗ Икс знак равно ⨁ Д Д , полное гильбертово пространство для н любой тип Икс , дан кем-то В н знак равно ⨁ Д Хом ( Икс ⊗ н , Д ) .
Черт, я слишком медленный.
@Heidar Вы не зашли достаточно далеко, так как Икс ⊗ н может также содержать слагаемые, которых нет в Икс ⊗ Икс . Я думаю, что формула в моем ответе верна: вы хотите суммировать все типы частиц.
@Heidar, Ной: ты абсолютно прав. Виноват.
После редактирования однозначно +1.

Здесь есть очень хороший набор лекций Jiannis Pachos на эту тему . (см., в частности, раздел 1.3 о свойствах сплавления и плетения).

Что касается первого вопроса, то тензорное произведение и прямое произведение — это принципиально разные способы разделения гильбертова пространства (см. поясняющее обсуждение Джона Баеза здесь ). Когда у вас есть отношения, как ф ⊗ ф знак равно я ⊕ ф (что касается энионов Фибоначчи ), это говорит о том, что когда два эниона сливаются, они создают либо вакуум, либо один энион. Физически прямая сумма в основном перечисляет возможности, тогда как тензорное произведение в основном описывает единственную возможность для системы, состоящей из нескольких подсистем. Таким образом, подобное уравнение говорит о том, что слияние двух анионов дает либо один анион, либо состояние вакуума.

Что касается второго вопроса, поскольку прямая сумма строит гильбертово пространство путем объединения гильбертовых пространств аргументов, ф + ф не то же самое, что ф , а скорее является большим гильбертовым пространством одиночных анионов. Вы можете посмотреть страницу 17 ссылки Фибоначчи. Вы заметите, что ф ⊗ ф ⊗ ф знак равно я ⊕ ф ⊕ ф , которое является трехмерным гильбертовым пространством, где как ф ⊗ ф знак равно я ⊕ ф которое является двумерным гильбертовым пространством.

Для физической значимости позвольте мне упомянуть, что предполагается, что анионы Фибоначчи проявляются в ν знак равно 12 / 5 плато в системах FQH. Это состояние гораздо труднее контролировать экспериментально, чем мю знак равно 5 / 2 состояние, потому что щель над основным состоянием мала. Но в отличие от тех, о которых я упоминал, они могут выполнять универсальные квантовые вычисления.
@Heidar: Извините, я не видел вашего ответа, когда публиковал это. Думаю, мы писали их одновременно.
Не нужно извиняться, ваш ответ мне нравится гораздо больше, чем мой!
Хороший ответ, и спасибо за ссылки ... Я все еще очень смущен тем, какая физическая разница должна быть между ф + ф а также ф ... (также я думаю, что размерность - скорее "статистическая размерность" - гильбертова пространства ф должно быть золотое сечение, а не единица... что бы это ни значило). Не могли бы вы объяснить, что экспериментальная установка может отличать ф + ф из ф ?
@André: ознакомьтесь с главой 2 по первой ссылке. Они специально используют кубиты, закодированные в я + я . В частности, они соответствуют двум различным способам слияния четырех анионов для получения вакуума. Этого можно добиться несколькими способами. (см., например, quant-ph/0703143, где любые ионы кодируются как топологические дефекты в решетке кубитов)

Я чувствую, что наконец-то понял физический смысл составных (т.е. не простых) объектов, таких как ф ⊕ ф . Это объясняется в разделе II моей статьи с Тянь Лан arxiv.org/abs/1311.1784.

Мы знаем, что размещение нескольких анионов (т.е. объектов в тензорной категории) на римановой поверхности может генерировать вырожденные состояния (т.е. пространство слияния объектов в тензорной категории). Физически «поместить несколько анионов на риманову поверхность» означает, что с помощью определенного локального гамильтониана Δ ЧАС локализовать anyons в определенных фиксированных местах. Упомянутые выше вырожденные состояния являются основными состояниями полного гамильтониана ЧАС 0 + Δ ЧАС . Если вырождение не зависит ни от каких возмущений Δ ЧАС вблизи частицы, то эта частица относится к простому типу. Если вырождение можно расщепить возмущением Δ ЧАС вблизи частицы, то эта частица имеет составной тип.

Другими словами, частицы составного типа соответствуют случайному вырождению в физике.

Это понимание тесно связано с предыдущими хорошими ответами других.

Если я правильно помню, классы изоморфизма простых объектов соответствуют разным типам частиц (которые предполагаются конечными), кроме того, обычно требуется структура, а не категория слияния, например плетение (вот почему любые ионы так интересны ). Позвольте мне быть очень конкретным. Физически (и экспериментально) релевантная категория имеет три класса изоморфизма простых объектов. ( 1 , ψ , о ) с нетривиальными правилами слияния

ψ ⊗ ψ знак равно 1 , ψ ⊗ о знак равно о а также о ⊗ о знак равно 1 ⊕ ψ ,
куда о это так называемый Изинг анион (и 1 является единичным объектом). Предполагается, что эти квазичастицы проявляются в ν знак равно 5 / 2 плато в дробно-квантовых холловских системах и в п + я п волновые сверхпроводники.

Эти правила слияния можно использовать для построения гильбертова пространства основного состояния, которое задается через пространство морфизмов между простыми объектами. Определение В а б с знак равно Хом ( а ⊗ б , с ) , гильбертово пространство для двух изинговских анионов равно В 2 знак равно В о о 1 ⊕ В о о ψ который двумерен. За 2 н любое, основное состояние тусклый В 2 н знак равно тусклый В 2 н о 1 + тусклый В 2 н о ψ знак равно 2 н − 1 + 2 н − 1 знак равно 2 н размерность (это хорошо видно с помощью графического обозначения морфизмов, см. ссылки ниже). Использование правила слияния о ⊗ о знак равно 1 ⊕ ψ можно решить уравнения пятиугольника и шестиугольника для Ф а также р символы, которые при объединении дают представление группы кос Б 2 н (точнее, группа классов отображений n-проколотой сферы = группа кос + повороты Дена) в гильбертовом пространстве основного состояния В 2 н .

Таким образом, одним физическим следствием этих прямых сумм является то, что основное состояние является вырожденным, а анионы имеют весьма нетривиальную статистику, волновая функция основного состояния преобразуется при (более многомерном) представлении группы кос, когда частицы адиабатически перемещаются друг вокруг друга. . Это свойство (неабелевых) анионов породило идею их использования для квантовых вычислений (еще одно свойство — их нелокальный характер, частично спасающий их от декогеренции).

Чтобы получить более физическое представление о том, что означает слияние (или столкновение, как вы его называете) частиц, можно взглянуть на конкретную п + я п волновые сверхпроводники. В таких сверхпроводниках нулевые (майорановские) моды могут быть связаны с ядром абрикосовских вихрей, где для 2n вихрей будет 2 н знак равно 2 н − 1 + 2 н − 1 фермионные состояния. Это означает, что для получения одного обычного фермиона требуется два майорановских фермиона. Когда вихри пространственно разделены, состояние в ядре вихря не может быть измерено локальными измерениями. В приведенных выше обозначениях; о это вихрь, ψ электрон, и 1 куперовская пара («тривиальная частица»). При таком отождествлении правила слияния говорят, что слияние двух электронов ( ψ ⊗ ψ знак равно 1 ) дает куперовскую пару, которая исчезает в конденсатах, сливая два вихря ( о ⊗ о знак равно 1 ⊕ ψ ) не дают либо ничего , либо электрон.

Таким образом, физический смысл этих прямых сумм простых объектов как-то связан с возможными результатами, когда мы измеряем состояние после слияния двух частиц. Таким образом (неабелев) анионы можно использовать для построения кубитов, сплетая их, можно выполнять вычисления, в конце концов их можно объединить и измерить результирующее состояние.

Ссылки: Вы можете прочитать приложение B, а затем главу четыре в этой диссертации , чтобы получить более точное описание того, как связаны категории плетеных лент и любые другие. Эти конспекты лекций Джона Прескилла дают более глубокое понимание физики, в разделе «9.12 Обобщенные модели Anyon» теория категорий используется для формулировки физики (хотя язык теории категорий не используется и может раздражать, если вы математик). Для математика лучшим ориентиром является

И последнее, но не менее важное: каноническим справочником по неабелевым анионам является обзорная статья.

Прежде всего, спасибо за вашу небольшую поправку: я изменил категорию fusion -> категорию плетеного сплава в своем посте. Теперь, что касается вашего предложения «Таким образом, физический смысл этих прямых сумм простых объектов имеет какое-то отношение к возможным результатам, когда мы измеряем состояние после слияния двух частиц», это, кажется, подразумевает, что нет никакой физической разницы между Икс ⊕ Икс а также Икс в качестве Икс или же Икс действительно то же самое, что и Икс . Вы согласны с последним утверждением?
@ Андре, я думаю, тебе нужно подумать об этом вместе со слиянием. Предположим, у вас есть частицы ( 1 , Икс , Д , Z ) с правилами слияния Д ⊗ Д знак равно 1 ⊕ Икс а также Z ⊗ Z знак равно 1 ⊕ Икс ⊕ Икс . Тогда, я думаю, можно перефразировать ваш вопрос так: это слияние двух Д частиц, физически эквивалентных слиянию двух Z частицы? Ну нет. Это правда, что оба дают возможности 1 или же Икс , но есть и другие способы получить Икс при слиянии Z ⊗ Z , чем Д ⊗ Д . (продолжение)
Другими словами, гильбертово пространство, связанное с н Д частицы отличается от той, что связана с н Z частицы. Следовательно, существует физическая разница между Икс а также Икс ⊕ Икс .
прямая сумма anyons?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v