Пертурбативные результаты Модель Китаева с магнитным полем

Да, точный результат можно найти в уравнении. (30) нашей статьи arXiv:1109.4155 :

$$\kappa = \frac{h_xh_yh_z}{8 u_0^2 J^2},$$

где$u_0$— численный коэффициент, полученный путем численного решения уравнения среднего поля. Китаев упомянул в своей статье, что$\Delta E = |u_0J|\approx 0.27|J|$(т.е.$u_0\approx -0.27$), и мы предоставим более точный результат$u_0\approx −0.262433$в уравнении (27) нашей статьи. Явный путь возмущения показан на рис. 5(а) нашей статьи (это возмущение 3-го порядка, а не 2-го порядка, как подчеркивается в статье Китаева).

---

Позвольте мне кратко описать вывод ниже. Начнем с изотропной сотовой модели Китаева с пертурбативным зеемановским полем ($|\boldsymbol{h}|\ll J$),

$$H=-J\sum_{\langle ij\rangle}S_i^{a}S_j^{a}-\sum_{i}\boldsymbol{h}\cdot\boldsymbol{S}_i,$$

где$a=1,2,3$зависит от сорта($x,y,z$) по ссылке$\langle ij\rangle$. Ввести четыре майорановских спинона$\chi_i^\alpha$($\alpha=0,1,2,3$) на каждом сайте$i$, определяемый антикоммутационным соотношением$\{\chi_i^\alpha, \chi_{j}^{\beta}\}=\delta_{ij}\delta_{\alpha\beta}$(обратите внимание на необычную нормализацию оператора Майорана здесь). При ограничении калибра (ограничение на месте)$\chi_{i}^0\chi_{i}^1\chi_{i}^2\chi_{i}^3=1/4$, спиновый оператор$\boldsymbol{S}_i$можно записать в терминах билинейной формы спинона как

$$\boldsymbol{S}_i=\frac{i}{2}\Big(\chi_i^0\boldsymbol{\chi}_i-\frac{1}{2}\boldsymbol{\chi}_i\times\boldsymbol{\chi}_i\Big),$$

где вектор$\boldsymbol{\chi}_i=(\chi_i^1,\chi_i^2,\chi_i^3)$состоит из трех последних компонентов майорановского фермиона. Мы можем видеть, что$\chi^0$($c$-фермион) отличается от$\chi^{1,2,3}$($b$-фермион) в этой схеме фракционирования. Это различие также отражается в гамильтониане среднего поля$H_\text{MF}$. В невозмутимом пределе$\boldsymbol{h}=0$,$H_\text{MF}$можно получить, подставив выражение для$\boldsymbol{S}_i$к спиновому гамильтониану и возьмем разложение среднего поля, описанное Китаевым:

$$H_\text{MF}=J\sum_{\langle ij\rangle}\big(\text{i}u_a \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}u_0\chi_i^a\chi_j^a\big),$$

где параметр связи$u_\alpha=\langle\text{i}\chi_{i}^\alpha\chi_{j}^\alpha\rangle$(для$\alpha=0,1,2,3$) определяется самосогласованным образом из фермионной корреляции Майораны в основном состоянии среднего поля (примечание$a=1,2,3$фиксируется типом ссылки, а не фиктивным индексом для суммирования). Установлено, что решение среднего поля имеет вид$u_a=1/2$и

$$u_0=-\frac{1}{3N}\sum_{\boldsymbol{k}\in\text{BZ}}\big|e^{\text{i}k_y}+2e^{-\text{i}k_y/2}\cos(\sqrt{3}k_x/2)\big|\approx -0.262433,$$ где $N$- количество узлов (мы можем численно оценить суммирование на конечной решетке, а затем взять термодинамический предел $N\to\infty$). Зонная структура спинона может быть получена путем диагонализации гамильтониана среднего поля, как показано ниже:

Можно видеть, что$\chi^0$фермион является блуждающим и имеет бесщелевой спектр. Но$\boldsymbol{\chi}=(\chi^1,\chi^2,\chi^3)$фермионы димеризованы на соответствующем типе звеньев и поэтому имеют щели (как плоская полоса). Энергетическая щель для$\boldsymbol{\chi}$фермионы$\Delta E=|u_0J|$.

Если нас интересует только физика низких энергий, мы можем пренебречь физикой высоких энергий.$\boldsymbol{\chi}$фермионы. Однако, как только в систему вводится зеемановское поле, включается смешение между низкоэнергетическими$\chi^0$и высокоэнергетические$\boldsymbol{\chi}$фермионы (а также смешение компонентов$\boldsymbol{\chi}$). Таким образом, становится возможным путь возмущения, показанный ниже:

что приводит к связи 2-го ближайшего соседа между низкоэнергетическим$\chi^0$фермион,

$$H_{\text{MF},0}=\text{i}u_a J\sum_{\langle ij\rangle} \chi_i^0\chi_j^0+\text{i}\kappa\sum_{\langle\!\langle ij\rangle\!\rangle}\chi_i^0\chi_j^0,$$

с коэффициентом$\kappa$дается возмущением 3-го порядка (см. эту страницу Википедии для формулы возмущения 3-го порядка)

$$\kappa=\Big(\frac{h_x}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_z}{2}\Big)\frac{1}{u_0J}\Big(-\frac{h_y}{2}\Big)=\frac{h_xh_yh_z}{8u_0^2J^2}.$$

2-й член связи с соседями$\kappa$нарушает симметрию обращения времени и пропускает низкоэнергетический фермион$\chi^0$. Затем бесщелевая спиновая жидкость Китаева переходит в неабелеву фазу с изинговским топологическим порядком.