Существуют ли какие-либо физические величины, единицы измерения которых определяются с помощью n-х корней, логарифмов, синусов и т. д. единиц СИ?

Существует довольно много физически значимых величин, единицы измерения которых включают полуцелую экспоненту, обычно в примерах, где рассматриваемая величина должна возводиться в квадрат к какой-то интенсивности или плотности.

• Наиболее четкая из них — квантово-механические волновые функции.$\psi$, для которого квадратный модуль$|\psi|^2$- это плотность вероятности (т.е. с единицами обратной длины в 1D или обратного объема в 3D), поэтому у вас будет$[\psi(x)]=[L^{-1/2}]$в 1D и$[\psi(\mathbf r)]=[L^{-3/2}]$в 3D.

• Вы очень часто видите единицу$\mathrm{Hz}^{-1/2}$в любой области, требующей анализа сигналов в любом качестве, где он естественным образом используется как способ описания амплитудных спектральных плотностей многих видов. Это происходит, когда у вас есть сигнал$f(t)$(в, скажем, безразмерной деформации) и вас интересует его преобразование Фурье, т.е. вы хотите представить$f(t) = \int_{-\infty}^\infty \tilde f(\omega) e^{-i\omega t} \mathrm d\omega$таким образом, что$\int_{\omega_1}^{\omega_2} |\tilde f(\omega)|^2 \mathrm d\omega$представляет мощность, которую сигнал несет в этом спектральном диапазоне.

  Хорошим недавним примером этого в действии являются кривые чувствительности к шуму для LIGO и других детекторов гравитационных волн в зависимости от частоты:

  

  ^{Источник изображения}

Если вы хотите перейти от полуцелых степеней к правильному$n$th корней, то вас в принципе ничто не останавливает, но шансы найти физически значимые примеры действительно резко уменьшаются, потому что физика склонна использовать квадратичные формы своих динамических переменных гораздо чаще, чем вы видите кубические или другие многолинейные зависимости . Я не знаю реальных примеров, но они вполне возможны.

Однако все меняется, если вы отходите от рациональных функций (т. е. комбинаций дробных степеней) и переходите к трансцендентным функциям (таким как экспоненциальные, логарифмические и тригонометрические функции), которые могут быть осмысленно определены только с помощью процессов, которые складывают или сравнивают величины.$x$с силой$x^n$того же количества. Как я объяснял в этой предыдущей ветке , это полностью ломает размерный анализ, и нет смысла ставить размерные величины в качестве аргументов трансцендентных функций.

(Существует незначительное частичное исключение в конкретном случае логарифма, когда вы можете «разделить» логарифм формы$\log(q_1/q_2)$в вычитание$\log(q_1)-\log(q_2)$при строгом требовании, чтобы все проявления$\log(q)$сопровождаться соответствующим${-}\log(q')$с$[q']=[q]$, и что оба вхождения берут логарифм числового значения в одних и тех же единицах. Это полезно, если вы заботитесь только о вещах с точностью до аддитивной (или мультипликативной) константы, но в конечном итоге это просто сводится к сложному формализму для работы с$\log(q_1/q_2)$, то есть логарифм безразмерной величины таким образом, что вы можете забыть об этом факте.)

Изменить: ответ ниже, безусловно, подозрительный. Прочитайте комментарии под ним и перейдите по ссылке, предоставленной dmckee.

Нет смысла рассматривать синусоидальную, логарифмическую или экспоненциальную функцию единицы или что-либо с единицами измерения. Один из способов убедиться в этом — заметить, что все эти функции можно разложить в ряды Тейлора. Например,

Обычно нет смысла вводить в трансцендентную функцию что-либо, кроме безразмерного ввода. Однако, как обсуждалось в этом вопросе , имеет смысл брать журналы величин, которые имеют единицы измерения. В результате вы получаете аддитивную константу, которая зависела бы от выбора единиц измерения, и эта константа часто не представляет интереса. Классическим примером будет использование наклона логарифмического графика для нахождения показателя степени в степенном законе. Однако единицы ввода не передаются на выход. Так, например, если вы возьмете логарифмическую основу 10 из 100 кг, вы получите 2 плюс константа, но 2 не имеет единиц логарифмических килограммов. Выбор килограммов присутствует в аддитивной константе. Поэтому не существует такой вещи, как единица «логарифм-килограмм».

Корни используются в единицах все время. Например, я преподаю лабораторию, в которой мы бросаем мячи с разной высоты.$h_1$и$h_2$и измерьте время между двумя ударами, чтобы измерить$g$с довольно хорошей точностью. Выражение для$g$включает в себя количество$\sqrt{h_1}-\sqrt{h_2}$.