Чему равен логарифм километра? Это безразмерное число?

Да, логарифмы всегда дают безразмерные числа, но нет, логарифмирование чего-либо с единицами измерения нефизично.

Вместо этого всегда есть какая-то стандартная единица. Для вашего примера стандартом является километр. Тогда 20 км при логарифмическом преобразовании становятся$\ln(20\;\textrm{km}\;/\;\textrm{km}\;)$. Точно так же бревно 10 см в этом масштабе

Вот один «математический», но крайне нефизический ответ.

Используя это$km\cdot km = (km)^2$и т. д., мы можем формально определить арифметику чисел с единицами над градуированной алгеброй $A = \oplus_{k\in \mathbb{N}} V_k$куда$V_k = \otimes^k V$куда$V$рассматривается как одномерное вещественное векторное пространство ($V_0$скаляр$\mathbb{R}$). Выбор единицы - это выбор базисного вектора в$V$.$V_0$это чистые скаляры. Таким образом, для каждого выбора базисного вектора$v \in V$, получаем отображение из бесконечной последовательности$\mathbb{R}^{\mathbb{N}}\to A$реализуя эту последовательность через$(r_k) \to [r_k]_v = \sum r_k (\otimes^k v)$. Мы определяем умножение$V_k\times V_{k'} \to V_{k+k'}$по-прежнему.

(Пока мы не будем определять единицы отрицательной мощности. Но, вероятно, их можно включить аналогичным образом.)

Тогда формально мы можем определить$\exp: A \to A$разложением степенного ряда

куда$a^k$определяется в смысле градуированной алгебры. И там мы определили, что это значит для$\exp$чего-то с единицами. Изменение базы$\exp$обрабатывается$y^a = \exp (\ln(y)\cdot a)$. И точно так же естественно заложено изменение единиц, используя тот факт, что изменение базиса в одномерном реальном векторном пространстве есть просто умножение на скаляры. Другими словами, мы имеем$[r_k]_v = [r'_k]_{v'}$куда$r_k = s^kr'_k$когда$v = s v'$.

Используя это, мы можем формально инвертировать разложение в степенной ряд, чтобы найти то, что$\ln$"должно быть. Исправить единицу$v$. Брать$(r_k) \in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$и рассмотреть$[r_k]_v \in A$. Найти$\ln [r_k]_v$нам нужно найти$(s_k)\in \mathbb{R}^{\mathbb{N}}$такой, что

(Мы также можем использовать разложение Тейлора$\ln$около$1\in\mathbb{R}$чтобы получить выражение для$(s_k)$с точки зрения$(r_k)$.)

К сожалению, даже в этих рамках$\ln 1 km$до сих пор не вполне определен: в образе$\exp$,$r_0$обязательно положительный. Формально можно определить$\ln (1 km) = \ln (1 + (1 km - 1))$как довольно расходящийся степенной ряд

Теперь немного забавы с расходящимся рядом: обратите внимание, что$\sum 1 = \sum (-1)^k(-1)^k = \sum (-1)^kx^k |_{-1}$представляет собой разложение в ряд Тейлора$1/x$около$x_0 = 1$оценивается в$-1$, так что второй член номинально$\lim_{x\to 0+} 1/x$. Итак, даже если мы упорядочим:

по-прежнему сильно расходится.

(Заметим, однако, что$\ln (1 + 1km) = \sum (-1)^{j+1}/j (km)^j$хорошо определяется как формальный степенной ряд.)

Так в чем был смысл этого поста? Этот пост в первую очередь касается вывода о том, что$\log m$является «безразмерным числом», как указано в постановке вопроса. В то время как в обычной арифметике нас учат, что мы не можем сложить яблоки с апельсинами, это возможно только в том случае, если мы станем пытаться сложить объект в$\mathbb{Z}$-модуль яблок в отдельный объект в$\mathbb{Z}$-модуль апельсинов. Если вы готовы работать в модуле прямой суммы яблок$\oplus$апельсины, вы действительно можете добавить яблоки к апельсинам.

Теперь, неявно утверждая, что$\log$имеет смысл для объектов с единицами (и аналогично тому, что$\exp$имеет смысл для объектов единиц), необходимо, чтобы мы уже работали в системе, которая$\mathbb{R}$-алгебра, в которой вы можете добавить скаляр (объект без единиц) к вектору (некоторый объект с единицами). Поэтому, утверждая, что вы хотите понять$\log km$, из этого нельзя сделать вывод, что$3$а также$\log m$должны иметь одинаковые единицы измерения.

Это забавный вопрос. Мне трудно понять трансформацию, которая$ln$так что я буду писать вещи с точки зрения показателей.

Число$e$конечно, безразмерный. Если я возвожу число в степень, каковы допустимые единицы степени? если я напишу$x^2$, у меня есть интуитивное предположение, что$2$не имеет единиц измерения, потому что это просто счет, используемый для выражения$x \times x = x^2$.

Таким образом, я убедился в ответе Карла, и мне потребовался бы логарифм, чтобы иметь ссылку, чтобы иметь смысл. Например:

Предыдущий вариант$e$возведение в степень, равную физической величине с реальными единицами, кажется идеальным примером чего-то бессмысленного.

бревенчатые участки

У меня есть еще один вопрос, вытекающий из вашего вопроса, и я постараюсь ответить на него здесь. Я особенно помню, как брал производные логарифмических и линейно-логарифмических графиков на уроках инженерии. У нас было некоторое обоснование для этого, но на первый взгляд оно могло бы показаться бессмысленным, так что давайте углубимся. Вот пример логарифмического графика. Я покажу график, а затем предложу уравнение изображаемой линии.

^{Источник изображения: Википедия}

Я начну писать вещи с основного$y=mx+b$формы, а затем изменить вещи по мере необходимости. Поскольку я использую произвольную константу, я буду подделывать ее всякий раз, когда это необходимо.

Как по волшебству, появляется узнаваемая форма. Наблюдение линейной зависимости на логарифмическом графике на самом деле означает, что вы наблюдаете аппроксимацию мощности, а не линейную аппроксимацию. Ученик все еще может спросить «а что такое a и b», что немного сложнее. Во-первых, я не делал никаких манипуляций с$a$, поэтому вы можете получить значение непосредственно из конечной формы, то есть это экспонента и, следовательно, безразмерная. Для б:

Это показывает, что$b$также безразмерна, но она также дает интерпретацию$p_0$, которое является эталонным значением y при некотором эталонном значении x ($m_0$). Я перейду к линейно-логарифмическому графику или полулогарифмической шкале.

^{Источник изображения: J.Exp. Мед. 103 , 653 (1956).}

я обозначу$f$для «выжившей фракции» и$d$для дозы. Уравнение регрессии, которое выглядит линейным на приведенном выше графике, будет следующим.

Здесь важно отметить, что$b$всегда были сомнительные единицы, как и в случае логарифма, но на самом деле это не имеет значения, потому что более полезная форма получается из математики естественным образом. Значение$f_0$будет базовым значением (в данном случае 100%) при$d=0$.

Резюме: допущение о линейной связи на логарифмических графиках на самом деле предполагает, что фактическая зависимость следует некоторой нелинейной форме, и единицы измерения будут работать после того, как вы сделаете математику, но интерпретация значений может быть нетривиальной.

Лучший способ думать об этом состоит в том, что число, такое как 1 км, состоит из безразмерной 1, умноженной на единицу, км. Когда вы берете журнал продукта, вы получаете сумму журналов, поэтому log (1 км) совпадает с log (1) + log (км). Это показывает, что бревно в 1 км не является ни безразмерной, ни размерной величиной. Если бы оно было безразмерным, то его можно было бы выразить без привязки к какой-либо системе единиц. Если бы он был размерным, то он изменился бы путем умножения при изменении системы единиц. Это ни то, ни другое.

Это нечто, что не является ни физической величиной, ни безразмерным числом, а может быть просто описано как логарифм физической величины . В этом нет большой проблемы: пусть$\mathcal{P}$— пространство физических величин. Мы можем охватить это пространство способом, подобным векторному пространству, базовыми физическими единицами (например, SI), как описано Вилли Вонгом. Что важно: мы знаем, что не можем совершать определенные операции в этом пространстве, например, мы не можем добавить массу к электрическому току. Добавление количества$a,b\in\mathcal{P}$определяется только в том случае, если$a$а также$b$имеют одинаковую размерность, т. е. если$\exists x\in\mathbb{R}$такой, что$a=xb$. Умножение всегда определено и всегда снова дает физическую величину. (Это также определяет степени физических величин, но не то, что, скажем, экспонента одной из них.)
Тогда мы знаем, что$\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$, так как, скажем, для двух длин$a,b\in\mathcal{P}$Соотношение$\tfrac{a}b$будет безразмерным числом. Для этих безразмерных величин логарифм определен с самого начала.

Довольно просто расширить это до полного пространства$\ln\!\!\mathcal{P}\supset\mathbb{R}$: за$a\in\mathbb{R}\subset\mathcal{P}$, логарифм определяется как обычно. За$a\not\in\mathbb{R}$, определим логарифм аксиоматически: сначала требуется$\ln\!\!\mathcal{P}$быть абелевой группой сложения WRT, даже векторное пространство над$\mathbb{R}$. Тогда для$\lambda\in\mathbb{R}$,

Возвращаясь к вашему вопросу: каков логарифм километра? Ответ:$\ln(1\:\mathrm{km})=\ln(\mathrm{km})$. Если считать километры базовой единицей длины, то это все, что вам нужно. Если вы предпочитаете метры или дюймы или что-то еще, вы просто получаете

Ближе всего к «логарифмическим единицам» являются децибелы , которые в 10 раз больше логарифма отношения по основанию 10. Чтобы выразить любую физическую величину в единицах, подобных децибелам, вам нужно сначала разделить ее на некоторую эталонную величину. Например, единицей мощности «децибел» является «дБм», что представляет собой отношение рассматриваемой мощности к 1 мВт, выраженное в дБ:

Для альтернативного взгляда на потенциальную «безразмерность» логарифмической функции, связанную с ее связью с интегралами и производными степенных функций, и с ее близостью к$0$-степенная функция. Если вычислить примитив$t^p$:

Каждый раз человек получает другое измерение (или силу соответствующего юнита). Когда вы дифференцируете, вы теряете размеры до степени$0$для положительных сил. Для отрицательных сил это сводится к$-\infty$: за$p \neq 0$,

Что-то определенно происходит вокруг нулевой степени.

Принято устанавливать нулевую степень ненулевого скаляра$\alpha$к$1$($\alpha^0=1$). Если вы сейчас исправите ненулевой$t$, коэффициент вариации для реального$p$-сила рядом$0$выглядит так:

В некотором смысле константа является предельным поведением логарифма или наоборот. Следовательно, логарифм должен быть как-то безразмерным.

Аналогичные концепции существуют и в статистическом анализе экспериментальных данных. Когда пытаешься найти связь между переменными$y$а также$t$, и не может найти линейную, некоторые пытаются модифицировать хотя бы одну переменную с помощью степенной функции. Дж. Тьюки («изобретатель» коробочного сюжета и БПФ) предложил лестницу трансформации, или лестницу полномочий, рассматривая$y = a+ bt^{p}$. Более удовлетворительное решение лежит в преобразовании Бокса-Кокса: если$\hat{t}$обозначает среднее геометрическое$t$, а также$\alpha$некоторый сдвиг, то:

Одним словом,$0$-я степень константы$1$,$0$-я степень переменной - это ее$\log$. Как-то.

Использованная литература:

• Дж. В. Тьюки, Исследовательский анализ данных. Эддисон-Уэсли, 1977 год.
• GEP Box и DR Cox, Анализ преобразований , Журнал Королевского статистического общества. Серия Б, 1964 год.
• Связано с Stackexchange: современный преемник исследовательского анализа данных Тьюки?

Логарифмическая функция легко используется для преобразования из одной шкалы в другую. На самом деле масштаб/единица является измерением и, следовательно, безразмерным, но для истолкования в физическом смысле мы присваиваем единицу относительно абсолютного стандарта, чтобы значение имело смысл и было воспроизводимым. Таким образом, отвечая на ваш вопрос. Log (x) безразмерен, так как все выполняемые математические операции по своей сути безразмерны. Для лучшего понимания я хотел бы привести воображаемый пример: «Когда я бегу с моим другом, расстояние между нами пропорционально скорости бега моего друга. at" В этом примере единицы измерения по обе стороны от равенства совершенно произвольны, в зависимости от формулировки ситуации она вполне может быть безразмерной - м/с или, скажем, погода, а затем цельсий - м/с!

Надеюсь это поможет.

Каким-то образом единицы в физике продолжают сбивать людей с толку. Простой способ избавиться от этой путаницы состоит в том, чтобы понять, что перевод физики в математику требует свести проблему к проблеме, имеющей дело только с чистыми (так называемыми безразмерными) числами.

Это может быть просто. Рассмотрим простой маятник. Получение периода времени для раскачивания боба$t_{swing}$требует, чтобы мы представили задачу в математической форме. Это заставляет работать не с самим периодом времени, а с такой безразмерной величиной, как отношение между$t_{swing}$и как-нибудь в другой раз$t_0$. В результате мы можем вывести уравнения типа

При проведении анализа для малых углов качания следует, что$f(..) = 2\pi$.

В некоторых других случаях количество параметров, имеющихся в задаче, недостаточно для обезразмеривания уравнения. В таких случаях физики прибегают к общим физическим параметрам, называемым единицами измерения. Их единственная цель состоит в том, чтобы сделать все параметры в математических уравнениях безразмерными (чистые числа).

Физики часто нарушают правило, предписывающее безразмерную математику. Таким образом, вы увидите такие уравнения, как

Строго говоря, это неверно. Однако люди склонны интерпретировать это как сокращение от

(или с любой другой единицей длины в знаменателе). Это снова делает уравнение безразмерным. Однако я бы сказал, что на самом деле имеется в виду

Также такие уравнения, как

строго говоря смысла мало. Опять же, люди могут превратить эту бессмыслицу во что-то осмысленное, истолковав ее как сокращение от

Однако на самом деле имеется в виду

Суть в том, что нет смысла иметь голую длину$x$или голая длина$r$в уравнениях. Также нет смысла иметь голый$1m$там. Хотя имеет смысл иметь параметр$\frac{r}{1 m}$или же$\frac{x}{r}$. Это всегда так, но становится более очевидным, когда рассматриваемая функция принимает форму, например, логарифма.

Мои два цента в том, что это классическая смесь мета-уровней.

Километр - это мера на земле. Когда мы делаем карту, метауровень реальных измерений, длина на карте составляет, может быть, 1 см на десять километров, и мы принимаем это спокойно, не задумываясь, как это возможно. Это возможно, потому что у нас очень четкое представление о том, что карта является метауровнем.

Предположим, мы делаем карту в логарифмическом масштабе (забавные карты земного шара существуют в зависимости от функций). Это будет означать, что то, что будет отмечено как километр на этой карте, будет становиться логарифмически больше по мере увеличения реальных (не мета) данных в километрах. Причина, по которой используются метауровни для величин, имеющих единицы измерения, заключается в том, что для удобства проекция земного шара на плоскость удобна для того, что мы хотим сделать, хотя это искажает относительный размер километра на карте, который наша «интуиция» требует неизменности. .

Когда мы имеем дело с показателями степени и логарифмами в физических уравнениях, мы очень тщательно следим за тем, чтобы там не было безразмерных чисел. Это фактически один из инструментов, балансирующих узлов. Изучите распределение Больцмана в качестве примера.

Во-первых, вопрос несколько некорректен. Например, на логарифмическом графике количество равно (log X) km, а не log(X km). Нам нужно уточнить вопрос: что значит «логарифмировать»? Логарифм или любая подобная функция определяется так, чтобы брать действительное или комплексное число и давать новое число на основе определенного правила. Дать ему что-то, кроме числа, немного похоже на вопрос: «Сколько весит число три?»; это не имеет смысла, потому что функция, которая дает вес объекта, не принимает числа.

(Рассмотрите физические уравнения, в которых физические величины используются в качестве аргументов логарифмов, тригонометрических функций или показателей степени. Опыт говорит нам, что в уравнениях, возникающих в природе, единицы величин в показателях и функциях всегда объединяются, чтобы дать безразмерное число. Любое осмысленное выражение должно исходить из физических рассуждений, поэтому вам нужно будет прийти к этому вопросу и из физических рассуждений..)

Как заметил Бен Кромвель в своем комментарии , я уверен, что в математике есть способы представления единиц.