Что такое «уравнение меры», как упоминается в этом руководстве TeX Users Group?

Я полагаю (или надеюсь, ибо я соглашусь), что он имеет в виду уравнения, в которых переменными являются простые числа, а не физические значения, а единицы измерения выписаны в уравнениях. Нравиться

$$F\:\mathrm{N} = \frac{E\:\mathrm{J}}{s\:\mathrm{m}}$$ то есть " $F$Ньютоны равны $E$Джоулей больше $s$метров». Это действительно ужасный способ написания уравнений, и особенно вредный, когда кто-то хочет работать в разных системах единиц (что, ИМО, само по себе неплохо); правильное уравнение просто утверждает $$F = \frac{E}{s}$$ выполняется во всех системах единиц измерения, но нужно следить за тем, какие единицы используются (что вы всегда должны делать в любом случае!), а в системе единиц, такой как «английская система», задействовано так много странных факторов, что может быть удобно написать их непосредственно в уравнении. Но в настоящее время у нас есть компьютеры для отслеживания различных единиц даже в таких системах, так что больше нет причин писать уравнения таким образом.

Простые операторы коэффициента преобразования, такие как$1\:\mathrm{in}\equiv2.54\:\mathrm{cm}$не считаются уравнениями меры (по крайней мере, я бы не стал), поскольку они не включают никаких переменных, а просто дают наиболее сжатый возможный способ определения отношения различных единиц.

Я думаю, что это как-то связано со старыми единицами электромагнетизма, которые были намного сложнее, чем преобразование сантиметров в дюймы. Я слишком молод, чтобы столкнуться с ужасами -cgs--единиц в электромагнетизме, поэтому все нижеследующее является лишь обоснованным предположением. Я предполагаю, что это связано с поиском в гугле, когда в старых статьях, связанных с преобразованием единиц измерения в электромагнетизме, появляется «уравнение меры» ( эта книга 1966 года или эта книга 1962 года ). Я не понял значения «уравнения меры» из тех текстов, которые я только бегло просмотрел: они, похоже, считают это понятие слишком очевидным, чтобы его можно было определить. Моя догадка немного подкрепляется$Z_0=377\Omega/\sqrt\epsilon$пример, приведенный в 8. вашего документа TUG.

По сути, до появления системы СИ система электромагнитных единиц сантиметр-грамм-секунда была кошмаром (по крайней мере, для современных глаз). Чтобы процитировать страницу википедии, указанную выше:

Коэффициенты преобразования, связывающие электромагнитные единицы в системах СГС и СИ, намного сложнее — настолько, что формулы, выражающие электрические физические законы электромагнетизма, различаются в зависимости от того, какую систему единиц вы используете. Это иллюстрирует фундаментальное различие в способах, которыми эти две системы строятся:

• В системе СИ [...] [т] ампер является базовой единицей системы СИ с таким же статусом, как метр, килограмм и секунда. Таким образом, связь в определении ампера с метром и ньютоном не принимается во внимание, и ампер не рассматривается как размерный эквивалент любой комбинации других основных единиц. В результате электромагнитные законы в системе СИ требуют дополнительной константы пропорциональности (диэлектрической проницаемости вакуума), чтобы связать электромагнитные единицы с кинематическими единицами.

• Система СГС избегает введения новых основных единиц и вместо этого выводит все электрические и магнитные единицы непосредственно из сантиметра, грамма и секунды на основе физических законов, связывающих электромагнитные явления с механикой.

Проблема заключается в том, что существует несколько (были в обиходе не менее 4, помимо СИ) способов сделать эту связь, и это меняет наличие или отсутствие в уравнении некоторых физических констант, а также их единиц. Ниже я привожу пример уравнения, связывающего притяжение двух электрических зарядов, как оно изменяется в зависимости от системы и как это меняет единицы измерения.

$$\begin{align} \text{Units}& &&\text{equation} &&\text{Charge unit}\\ \text{ESU and Gauss}&& F&=\frac{qq'}{r^2} &&1\;\mathrm{cm}^{\frac32}\mathrm{g}^{\frac12}\mathrm{s}^{-1}\\ \text{EMU} & & F&=c^2\frac{qq'}{r^2}&&1\;\mathrm{cm}^{\frac12}\mathrm{g}^{\frac12}\mathrm{s}^{-2} \\ \text{Lorentz-Heavyside}& & F&=\frac{4\pi qq'}{r^2}&&\frac{1}{4\pi}\;\mathrm{cm}^{\frac32}\mathrm{g}^{\frac12}\mathrm{s}^{-1}\\ \text{SI}& & F&=\frac{qq'}{4\pi \epsilon_0 r^2} &&1\;\mathrm{A}\mathrm{s} \end{align}$$ Я предполагаю, что последний столбец - это то, что имелось в виду под «уравнением меры», но, как сказано выше, это только предположение.

Я не уверен в этом, но я думаю, что астрономам очень нравится «уравнение меры»:

$$\frac\Gamma H \approx \left( \frac T{1.6\cdot 10^{10} \, \mathrm K} \right)^3$$

Или для абсолютной, относительной величины и расстояния (хотя я уверен, что что-то перепутал):

$$m - M = 5 - 5 \log\left(\frac{R}{10 \, \mathrm{pc}}\right)$$

Итак, уравнения, которые отменяют все единицы в середине и добавляют последнюю единицу в конце.

Другой пример, который я только что придумал:

$$T = 400 \left(\frac{M}{10 \, M_\odot} \right)^{-2} \left(\frac{d}{2 \,\mathrm{au}} \right)^{3} \mathrm{s}$$

Одна приятная вещь заключается в том, что вы можете сказать что-то вроде этого: «Для массы примерно в десять солнечных масс и расстояния примерно в две астрономические единицы период будет равен 400 секундам».

В экспериментальной физике все это сворачивается в константу с единицей вроде$\mathrm{kg^2\,s/m^2}$. А в теоретической физике можно было бы просто поставить все на 1, чтобы избавиться от этого :-)