Связь между спином и спинорной кривизной

Двойная форма кривизны определяется выражением

$$\newcommand{\Rcal}{\mathcal{R}} \Rcal_{ab} \Psi = [D_a, D_b] \Psi.$$ Здесь $D_a$— ковариантная производная без калибровочных членов . $\Rcal_{ab}$принимает значения в представлении Дирака алгебры Ли Лоренца. Таким образом, действительно отношение $$\mathcal R_{ab \alpha\beta} \Psi_\beta = [D_a, D_b] \Psi_\alpha$$ где $\alpha, \beta$– спинорные индексы Дирака. Сравните это с более знакомым тензором Римана. $$R_{ab}{}^\mu{}_\nu x^\nu = [D_a, D_b] x^\mu.$$ Поскольку тензор Римана антисимметричен в $\mu,\nu$мы также можем рассматривать его как 2-форму, принимающую значения в представлении алгебры Ли Лоренца. Конечно, это представление является 4-векторным представлением.

Представление Дирака алгебры Ли реализуется как

$$\epsilon_{\mu\nu} \mapsto \frac{1}{4} \epsilon_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu$$ который находится под бесконечно малым преобразованием Лоренца с помощью $\epsilon_{\mu\nu}$, $$\Psi \mapsto \Psi + \frac{1}{4} \epsilon_{\mu\nu}\gamma^\mu\gamma^\nu \Psi.$$ Это значит, что $$\Rcal_{ab} = \frac{1}{4}R_{abst}\gamma^s \gamma^t.$$

Теперь давайте определим тензор Риччи как

$$R_{ab} = R_a{}^\mu{}_{\mu b} = R_{astb} g^{st}.$$ Тогда из фундаментального антикоммутационного соотношения гамма-матриц мы можем написать $$\begin{align} R_{ab} \gamma^b & = \frac{1}{2} R_{astb} (\gamma^s \gamma^t + \gamma^t \gamma^s) \gamma^b \\ & = \frac{1}{2} R_{astb}\gamma^s\gamma^t \gamma^b - \frac{1}{2} (R_{abst} + R_{atbs}) \gamma^t\gamma^s \gamma^b \tag{1}.\end{align}$$ Здесь я использовал симметрию тензора Римана, $R_{astb} + R_{abst} + R_{atbs} = 0$. Обратите внимание, что первый член в точности $2\Rcal_{as}\gamma^s$. Сейчас $R_{atbs} = -R_{atsb}$Таким образом, перемаркировка сокращенных индексов в последнем члене показывает, что этот член также вносит свой вклад. $2\Rcal_{as}\gamma^s$. Для среднего члена используйте антикоммутационное соотношение, чтобы найти $$\gamma^t \gamma^s \gamma^b = \gamma^b \gamma^t \gamma^s - 2g^{tb}\gamma^s + 2g^{sb}\gamma^t \tag{2}.$$ Следовательно, $$\begin{align}R_{abst}\gamma^t\gamma^s \gamma^b & = -R_{abts} \gamma^b \gamma^t \gamma^s - 2R_a{}^\mu{}_{s \mu} \gamma^s + 2R_a{}^\mu{}_{\mu t}\gamma^t \\ & = -\Rcal_{as}\gamma^s + 4R_{as}\gamma^s. \end{align}$$

Теперь у нас есть (1)

$$R_{ab}\gamma^b = 6 \Rcal_{ab}\gamma^b - 2R_{ab}\gamma^b$$ так ясно $$\frac{1}{2}R_{ab}\gamma^b = \Rcal_{ab}\gamma^b \tag{3}$$ который является одним из тождеств в вашем вопросе. Другое следует из использования антикоммутационных соотношений и (3).