Связь между тепловой (де Бройля) длиной волны и постоянной Планка

Я полагаю, вы могли бы думать об этом таким образом, по крайней мере, в развитии классической статистической механики. Фактор$h$действует как единица действия для каждой пары координата-импульс, которая необходима, чтобы сделать классическую каноническую статистическую сумму безразмерной:

$$Q = \frac{1}{N!h^{3N}} \int d^{3N}\mathbf{r} \int d^{3N}\mathbf{p} \, \exp\left[-\frac{K(\mathbf{p}^{3N})+\mathcal{V}(\mathbf{r}^{3N})}{k_BT}\right]$$ где $K$кинетическая энергия и $\mathcal{V}$потенциальная энергия. Иногда говорят, что он определяет квантовую «зернистость» или «дискретизацию» в фазовом пространстве, позволяя нам перевести квантовую сумму по состояниям в классический интеграл . Это звучит как махание руками, но это можно оправдать, исследуя простые системы, такие как гармонический осциллятор и частица в ящике, и прибегая к принципу соответствия, и я полагаю, что это направление, с которого вы подходите к этому вопросу. вопрос.

Если мы на самом деле вычислим интегралы по импульсам, что мы можем, поскольку

$$K = \sum_{i=1}^N\sum_{\alpha=x,y,z} \frac{p_{i\alpha}^2}{2m}$$ эта формула становится $$Q = \frac{1}{N!\lambda^{3N}} \int d^{3N}\mathbf{r} \, \exp\left[-\frac{\mathcal{V}(\mathbf{r}^{3N})}{k_BT}\right]$$ с обычным определением тепловой длины волны де Бройля, $$\lambda = \frac{h}{p_{\mathrm{th}}} = \frac{h}{\sqrt{2\pi mk_BT}}$$ Сейчас $\lambda$устанавливает квантово-механическую шкалу длины. Это длина волны «типичной» частицы при данной температуре. Если система на самом деле представляет собой идеальный газ, $\mathcal{V}=0$, конфигурационный интеграл можно сделать тривиально, и мы получим знаменитый результат $$Q_{id} = \frac{V^N}{N!\lambda^{3N}} \sim \left(\frac{V/N}{\lambda^{3}}\right)^N$$ где я (очень грубо) установил $N!\sim N^N$(приближение хуже, чем Стирлинга). Как говорится на странице Википедии , физически отношение объема на частицу $V/N$к $\lambda^3$характеризует баланс между квантовым и классическим поведением. Таким образом, аналогично $h$, который относится к дискретизации позиций и импульсов вместе, вы могли бы подумать о $\lambda$как характеризующее дискретизацию позиционных координат на квантовом уровне при данной температуре, когда мы выполняем интегрирование по позициям (будь то $\mathcal{V}$равен нулю или нет).

Высокая ценность$Q$(по сравнению с$1$) означает, что существует очень много доступных состояний при интересующей температуре, что действительно согласуется с небольшим разделением энергий состояний (по сравнению с$k_BT$) и, следовательно, справедливость классического приближения.