Квантовый идеальный газ - Канонический ансамбль - Обозначение суммирования чисел занятости (Хуанг)

(Вопрос в конце выделен жирным шрифтом, отмечен буквой б) )

Для квантового идеального газа гамильтониан (оператор) системы имеет вид:

$$\begin{align} \mathcal H=\sum_{i=1}^N H_i=\sum_{i=1}^N \frac{P_i^2}{2m} \end{align}$$

где$N$это количество частиц.

В каноническом ансамбле имеем

$$\begin{align} \mathcal \rho = e^{-\beta \mathcal{H}} \end{align}$$

где$\rho$- оператор плотности и$\beta = \frac{1}{K_BT}$.

Вход$jj$матрицы, представляющей этот оператор в базисе собственных векторов оператора$\mathcal{H}$затем:

$$\begin{align} \mathcal \rho_{jj} = e^{-\beta E_j} \end{align}$$

и, таким образом, статистическая сумма определяется как:

$$\begin{align} Z_N = Tr[\rho]=\sum_{j=1}^\mathcal{N} e^{-\beta E_j} \end{align}$$

где$\mathcal{N}$количество собственных значений$E_j$из$\mathcal{H}$(повтор включен).

а)

Вот что написано в некоторых книгах/заметках по статистической механике (например, Huang):

$$\begin{align} Z_N = \sum_{\{n_p\}} e^{-\beta E } \end{align}$$

с

$$\begin{align} E=\sum_{\vec{p}} \epsilon_\vec{p} n_\vec{p} \quad , \quad N=\sum_{\vec{p}} n_\vec{p} \end{align}$$

где$n_\vec{p}$- число заполнения (число частиц), соответствующее конфигурации с импульсом$\vec{p}$(?) и$\epsilon_\vec{p}$соответствующую энергию.

б)

Является$E_j = E \,$? Если да, то как я могу это увидеть? Если нет, то что именно делает$Z_N$как написано в книгах (т.е. суммирование как указано выше) значит?

Приложение:

• Я думал, что если система находится в состоянии$|\Psi^{(j)} \rangle$, собственный вектор$\mathcal{H}$связан с$E_j$, тогда возможно$|\Psi^{(j)} \rangle = |\phi_1^{(j)} \rangle |\phi_2^{(j)} \rangle...|\phi_N^{(j)} \rangle$(с$|\phi_i^{(j)} \rangle$состояние частицы$i$когда система находится в состоянии$|\Psi^{(j)} \rangle$) и поэтому, $$\begin{align} \mathcal H|\Psi^{(j)} \rangle &= \bigg(\sum_{i=1}^N H_i \bigg) |\phi_1^{(j)} \rangle |\phi_2^{(j)} \rangle...|\phi_N^{(j)} \rangle \\ &= \bigg(\sum_{i=1}^N \epsilon_i^{(j)} \bigg) |\Psi^{(j)} \rangle \end{align}$$

$\qquad$с$\epsilon_i^{(j)}$являющееся собственным значением$H_i$связанный с собственным вектором$|\phi_i^{(j)} \rangle$.

• С$\mathcal{H}|\Psi^{(j)} \rangle = E_j |\Psi^{(j)} \rangle$, мы бы хотели иметь:

$$\begin{align} \tag{*} E_j = \sum_{i} \epsilon_i^{(j)} \end{align}$$

• Если$n_\vec{p}$частицы имеют импульс$\vec{p}$, то я думаю, мы могли бы написать это как:

$$\begin{align} E_j = \sum_{\vec{p}} n_\vec{p}^{(j)} \epsilon_\vec{p}^{(j)} \end{align}$$

• Наконец, вместо суммирования$j$, они решают просуммировать все возможные$n_\vec{p}$, таким образом получив формулу в книгах. Это верно?

РЕДАКТИРОВАТЬ (ответить на взгляд):

Вот что я получил:

Предполагать$E_1$и$E_2$являются собственными значениями полного гамильтониана$\mathcal{H}$с$g_{E_1}=2$и$g_{E_2}=1$. Тогда есть два собственных состояния$|E_{1_a} \rangle$и$|E_{1_b} \rangle$для которого

$$\begin{align} \mathcal{H} |E_{1_a} \rangle = E_1|E_{1_a} \rangle \\ \mathcal{H} |E_{1_b} \rangle = E_1|E_{1_b} \rangle \end{align}$$

и одно государство$|E_{2} \rangle$для которого$\mathcal{H} |E_{2} \rangle = E_2|E_{2} \rangle$. Каждое из этих состояний может быть записано в терминах состояний частиц,$|\epsilon_{i} \rangle$(собственные состояния$H_i$с собственными значениями$\epsilon_i$). Сказать$N=3$и что, например:

$$\begin{align} & |E_{1_a} \rangle = |\epsilon_{1},\epsilon_{2},\epsilon_{2} \rangle \rightarrow \text{config} \quad \{n_p\}_{1_a}=\{ p_1,p_2,p_2\} \\ & |E_{1_b} \rangle = |\epsilon_{2},\epsilon_{2},\epsilon_{1} \rangle \rightarrow \text{config} \quad \{n_p\}_{1_b}=\{ p_2,p_2,p_1\} \\ & |E_{2} \rangle = |\epsilon_{5},\epsilon_{5},\epsilon_{2} \rangle \rightarrow \text{config} \quad \{n_p\}_2=\{ p_5,p_5,p_2\} \end{align}$$

Тогда, соответствующий$E_1$, у нас есть оккупационные номера$n_{p_1}=1$,$n_{p_2}=2$и$n_{p_k}=0$ $\forall k>2$и для$E_2$, оккупационные номера$n_{p_2}=1$,$n_{p_5}=2$и$n_{p_k}=0$для$k\neq 2,5$.

$Z$тогда будет, согласно вашему (2) :

$$\begin{align} Z &= e^{-\beta (1 \epsilon_1 + 2 \epsilon_2 + \sum\limits_{k>2} 0 \epsilon_k)} + e^{-\beta (1 \epsilon_1 + 2 \epsilon_2 + \sum\limits_{k>2} 0 \epsilon_k)} + e^{-\beta (1 \epsilon_2 + 2 \epsilon_5 + \sum\limits_{k \neq 2,5} 0 \epsilon_k)} \\ &= 2e^{-\beta (1 \epsilon_1 + 2\epsilon_2)} + e^{-\beta (1\epsilon_2 + 2\epsilon_5)} \\ &= g_{E_1}e^{-\beta E_1} + g_{E_2}e^{-\beta E_2} \end{align}$$