Примеры операторов плотности в котором состояния {|ϕn⟩}{|ϕn⟩}\{|\phi_n\rangle\} не ортогональны

В этой ветке было множество неправильных утверждений, поступающих с разных сторон, поэтому, вероятно, будет хорошей идеей уточнить запись немного подробнее и привести еще несколько примеров того, как выражения этой формы появляются на практике.

Итак, давайте кратко рассмотрим некоторые важные моменты.

• Определение матрицы плотности - это просто оператор$\rho:\mathcal H \to \mathcal H$самосопряженным и положительно полуопределенным (и ядерным, если$\dim(\mathcal H)=\infty$), и чей след удовлетворяет

  $$\mathrm{Tr}(\rho)=1.$$ Что еще более важно, это все , что требуется по определению. Любой оператор, удовлетворяющий этим условиям, по праву может называться матрицей плотности, точка.

• Из-за этого все операторы, которые могут быть выражены в форме OP ,

  $$\rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n|, \tag{$*$}$$ являются действительными матрицами плотности , пока проекторы компонентов нормализованы к$\langle \phi_n|\phi_n \rangle =1$и веса складываются в$\sum_n p_n = 1$.

• Эти два требования являются единственными фактическими требованиями. Ни одно из условий матрицы плотности ($\rho^\dagger=\rho$,$\rho\geq 0$, и$\mathrm{Tr}(\rho)=1$) затронуты, если$|\phi_n\rangle$не являются попарно ортогональными, или если их число превышает размерность пространства состояний. Это означает, что совершенно нормально брать неортогональные состояния в представлении формы$(*)$.

• Явные примеры с неортогональными проекторами построить несложно. Ответ Норберта Шуха содержит один пример, но если вы начнете их искать, вы можете мгновенно построить их, просто взяв любой набор нормализованных по единице векторов, взвешенных по нормализованным по единицам весам.$p_n$.

  Чтобы явным образом привести один такой пример, рассмотрим двухуровневое пространство$\mathcal H = \mathbb C^2$, и последовательность$N$векторы, лежащие на равном расстоянии вдоль экватора его сферы Блоха, что дает

  $$\rho = \sum_{n=0}^{N-1} p_n |\varphi_n\rangle\langle \varphi_n| \quad \text{for} \quad |\varphi_n\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( |0\rangle + e^{i 2\pi n/N} |1\rangle\bigg). \tag{$\star$}$$ Здесь веса могут быть произвольными, пока$\sum_{n=0}^{N-1} p_n=1$; один очевидный выбор$p_n = 1/N$что дает максимально смешанное состояние$\rho = \frac12 \mathbb I$, но есть много других возможных вариантов.

• Представления формы$(*)$не уникальны. Предположим, что у вас есть некоторая матрица плотности$\rho$что вам удалось представить как сумму нормализованных проекторов двумя разными способами, скажем,

  $$\rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n| = \sum_m q_m |\chi_m \rangle\langle \chi_m|, \tag{$**$}$$ где$\sum_n p_n = 1 = \sum_m q_m$и$\langle \phi_n|\phi_n \rangle =1=\langle \chi_m|\chi_m \rangle$. Тогда есть некоторые свободные требования к двум наборам векторов , начиная с того факта, что$\mathrm{span}\{|\phi_n\rangle\}$должен соответствовать$\mathrm{span}\{|\chi_m\rangle\}$, а в целом компоновка$|\phi_n\rangle$и$|\chi_m\rangle$в пределах этого промежутка может быть очень разным . Это видно на примере$(\star)$выше с равными весами, где$\rho$не зависит от числа$N$векторов в вашей коллекции, а также может быть представлен как$\rho = \tfrac12 \left[ |0\rangle\langle 0| + |1\rangle\langle 1| \right]$.

• Представления формы$(*)$интерпретации, и немного больше. В заявлении есть некоторое физическое содержание

  $$\rho = \sum_n p_n |\phi_n \rangle\langle \phi_n|, \tag{$*$}$$ а именно, что вы можете произвести состояние системы$\rho$производя чистые состояния$|\phi_n\rangle$с вероятностями$p_n$а затем забывая, какое чистое состояние вы на самом деле произвели. Однако рабочее слово здесь «может»: тот факт, что эта процедура приведет к$\rho$вовсе не говорит, что это единственная возможная процедура, которая создаст это состояние.

• Представления не подразумевают, что задействованные векторы являются собственными векторами результирующей матрицы плотности. Это верно, если проекторы попарно ортогональны, но это вовсе не требование, так что вполне возможно построить$\rho$как сумма проекторов, которые не имеют ничего общего с собственными проекторами суммы.

  Вероятно, будет полезно проиллюстрировать это явным примером для ясности. Рассмотрим двухуровневую систему, подготовленную в виде суперпозиции

  $$|\theta_\pm\rangle = \cos(\theta/2)|0\rangle \pm \sin(\theta/2)|1\rangle,$$ то есть угол$\theta$вниз от северного полюса сферы Блоха, за исключением того, что каждый раз, когда мы подбрасываем честную монету, чтобы увидеть, какой знак$\theta$(т.е. в каком направлении нулевого меридиана) мы берем. Тогда матрица плотности читается $$\begin{align} \rho & = \frac12 \bigg( |\theta_+\rangle\langle\theta_+| +|\theta_-\rangle\langle\theta_-| \bigg) \\ & = \frac12 \bigg( \big(\cos(\theta/2)|0\rangle + \sin(\theta/2)|1\rangle \big) \big(\cos(\theta/2)\langle 0| + \sin(\theta/2)\langle 1| \big) \\ & \qquad + \big(\cos(\theta/2)|0\rangle - \sin(\theta/2)|1\rangle \big) \big(\cos(\theta/2)\langle 0| - \sin(\theta/2)\langle 1| \big) \bigg) %\\ & = \frac12 \bigg( %\big(\cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| + \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|1\rangle %\langle 0| + \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|0\rangle \langle 1| + %\sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \big) %\\ & \qquad + %\big(\cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| - \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|1\rangle %\langle 0| - \sin(\theta/2)\cos(\theta/2)|0\rangle \langle 1| + %\sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \big) % \bigg) \\ & = \cos^2(\theta/2)|0\rangle\langle 0| + \sin^2(\theta/2)|1\rangle\langle 1| \end{align}$$ потому что недиагональные члены сокращаются. Во втором представлении у нас есть ортогональные проекторы, поэтому здесь$|0\rangle$и$|1\rangle$действительно являются уникальными собственными векторами$\rho$(пока не$\theta=\pi/2$и$\rho$максимально смешанный). Но это не останавливает наше первоначальное представление,$\rho = \frac12 \left( |\theta_+\rangle\langle\theta_+| +|\theta_-\rangle\langle\theta_-| \right)$, с его неортогональными компонентами, не являющимися собственными векторами, также не является истинным.

• Если состояние построено с помощью неортогональных проекторов, то оно также имеет отдельное представление в терминах ортогональных проекторов , и это совершенно нормально. Представления формы$(*)$пруд пруди, если вы знаете, где искать. Итак, вы нашли неканонический вариант: отлично! есть миллионы там, откуда пришел этот.

• Представления формы$(*)$действительно пруд пруди . Если вы хотите построить его самостоятельно, скажем, для двухуровневой системы, есть несколько моментов, которые особенно важны для рецепта:

  • Матрицы Паули являются основой для всех действительных матриц плотности, т.е. если$\rho=\rho^\dagger$бесследно, то его можно представить в виде $$\rho = \tfrac12 \mathbb I + \vec p \cdot \vec \sigma,$$ где$\vec p = (p_x,p_y,p_z)\in \mathbb R^3$и$\vec \sigma =(\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$матрицы Паули. (Кроме того, эту связь можно инвертировать через$\vec p = \mathrm{Tr}(\rho\vec\sigma)$.)
  • Состояние положительности$\rho\geq 0$переводится в состояние$||\vec p||\leq 1$, т.е.$\vec p$живет внутри единичного шара или его границы$-$обычно известный как шар Блоха и сфера Блоха в этом контексте.
  • Если$|\vec p|=1$, т.е.$\vec p$находится на границе сферы Блоха, то$\rho = |\psi\rangle\langle\psi|$является чистым состоянием, и если вы напишете$|\psi\rangle = \cos(\theta/2) |0\rangle + e^{i\varphi}\sin(\theta/2)|1\rangle$(что вы всегда можете), то$\theta\in [0,\pi]$и$\varphi\in[0,2\pi)$- полярные и азимутальные сферические координаты для $$\vec p = (\sin(\theta)\cos(\varphi), \sin(\theta)\sin(\varphi), \cos(\theta).$$
  • Отношение между$\vec p$и$\rho$линейна и биективна.
  • Если$\rho_1$и$\rho_2$являются допустимыми матрицами плотности, то любая выпуклая комбинация $$\rho = q_1 \rho_1 + q_2 \rho_2$$ из двух, с добавлением весов к$q_1+q_2=1$, также является допустимой матрицей плотности.
  • Поскольку связь между матрицами плотности и векторами блоховского шара является линейной, любая выпуклая комбинация матриц плотности преобразуется непосредственно в выпуклую комбинацию соответствующих векторов блоховского шара. Таким образом, если$\rho_1 = \tfrac12 \mathbb I + \vec p_1 \cdot \vec \sigma,$ $\rho_2 = \tfrac12 \mathbb I + \vec p_2 \cdot \vec \sigma,$и$\rho = q_1 \rho_1 + q_2 \rho_2$, затем$\vec p= q_1 \vec p_1 + q_2 \vec p_2$лежит на линии, идущей от$\vec p_1$к$\vec p_2$, фракция$q_1=1-q_2$пути в этом направлении.

  Итак, что это означает для представлений матрицы плотности? Если у вас есть целевая матрица плотности$\rho$которую вы хотите представить, просто возьмите его вектор блоховского шара$\vec p = \mathrm {Tr}(\rho\vec\sigma)$, а затем выберите$N$точки$\vec p_n$на самой сфере Блоха (граница) и весах$q_n$(нормализовано до$\sum_n q_n=1$) такие, что их среднее$\sum_n q_n \vec p_n=\vec p$дает вам выбранную точку. Это, естественно, даст вам представление вашей матрицы плотности в виде взвешенной суммы$N$проекторы чистого состояния, и вы можете считывать компоненты вычислительной базы непосредственно из сферических координат выбранных вами экстремальных точек.

Просто рассмотрим двухуровневую систему и возьмем три состояния.$|0\rangle$,$|1\rangle$, и$|+\rangle = (|0\rangle+|1\rangle)/\sqrt{2}$. Тогда смешанное состояние

$$\rho = \tfrac13 |0\rangle\langle0| + \tfrac13 |1\rangle\langle1| + \tfrac13 |+\rangle\langle+|$$ является примером того, что вы просите. (Конечно, у него также есть разложение по собственным значениям, когда векторы ортогональны.)

Если вы не хотите, чтобы они также образовывали (слишком полную) основу, просто рассмотрите тот же пример в трехмерном пространстве.

Широко используемым примером такого представления являются так называемые квазивероятностные распределения.

Рассмотрим гармонический осциллятор. Вы можете использовать ортонормированную координату$|x\rangle$, импульс$|p\rangle$или фок$|n\rangle$базы. Однако есть и приятные состояния,

$$\begin{equation} |\alpha\rangle=e^{\alpha a^\dagger - \alpha^\ast a}|0\rangle \end{equation}$$ называемые когерентными состояниями. Это гауссовские волновые пакеты, локализованные как в координатном, так и в импульсном пространстве с $\alpha=\langle x\rangle+i\langle p\rangle$. Важно подчеркнуть, что когерентные состояния с различными $\alpha$не являются ортогональными.

Вы можете написать любую матрицу плотности$\rho$для Гармонического осциллятора как интеграла по фазовому пространству,

$$\begin{equation} \rho=\int d^2\alpha\, P(\alpha,\alpha^\ast)|\alpha\rangle\langle\alpha| \end{equation}$$ Очевидно, из $\operatorname{Tr}\rho=1$Следовательно, $$\begin{equation} \int d^2\alpha\, P(\alpha,\alpha^\ast)=1 \end{equation}$$ и вы часто можете рассматривать его как распределение вероятностей в фазовом пространстве.

Однако здесь появляется «квази» в «квазивероятности». Функция$P(\alpha,\alpha^\ast)$в некоторых регионах может быть отрицательным! $\rho$еще можно определить положительно.

Таким образом, вы, конечно, можете рассмотреть такие представления, но помните, что некоторые$p_n$на самом деле может быть отрицательным.

На самом деле множество чистых состояний$|\phi_{n}\rangle$возникающие в матрице плотности смешанных состояний не могут не быть ортогональными и полными. Это происходит из-за того, что матрица плотности является эрмитовым оператором,

$$\begin{equation}\begin{aligned} \rho^{\dagger} &= \sum_{n} p_{n} (\langle\phi_{n}|)^{\dagger} (|\phi_{n}\rangle)^{\dagger} \\ &= \sum_{n} p_{n} |\phi_{n}\rangle\langle\phi_{n}| = \rho \end{aligned}\end{equation}$$ поэтому его собственные значения действительны, а его собственные состояния ортогональны и образуют полный набор, который можно использовать в качестве основы.

На самом деле его собственные состояния - это в точности чистые состояния$|\phi_{n}\rangle$с вероятностями$p_{n}$будучи ассоциированными собственными значениями,

$$\begin{equation}\begin{aligned} \rho |\phi_{n}\rangle&= \sum_{m}p_{m}|\phi_{m}\rangle\langle\overbrace{\phi_{m}|\phi_{n}\rangle}^{\delta_{mn}} \\ &=p_{n}|\phi_{n}\rangle \end{aligned}\end{equation}$$ поэтому множество чистых состояний $\{|\phi_{n}\rangle\}$имеет все хорошие свойства для использования в качестве основы. Другой способ понять это - вспомнить спектральное разложение общей матрицы $A$, $$\begin{equation} A=\sum_{n}a_{n}P_{n} \end{equation}$$ где $P_{n}=|n\rangle\langle n|$это оператор проектора, проецирующий на собственное состояние $|n\rangle$с соответствующим собственным значением $a_{n}$матрицы $A$. Матрица плотности и есть это разложение с $|\phi_{n}\rangle$его собственные состояния и $p_{n}$соответствующие собственные значения.

Единственная тонкость здесь в том, что матрица плотности$N\times N$матрица с$N$размерность пространства Гильбера, поэтому матрица плотности, которую вы построите, должна помнить эту размерность независимо от того, является ли она смешанной или чистой. Например, для чистого состояния у вас будет матрица плотности с$N^2-1$нули в основе$\{|\phi_{n}\rangle\}$так что если вы решили работать в основе чистых состояний$\{|\phi_{n}\rangle\}$, вы должны помнить, чтобы принять во внимание все из них.