Какова связь между статистикой Максвелла–Больцмана и большим каноническим ансамблем?

Вы абсолютно правы в том, что предел, в котором выполняется это приближение, равен

что не является тривиальным «высокотемпературным пределом», и действительно выглядит скорее как низкотемпературный предел. Однако это также выглядит как предел больших отрицательных значений.$\mu$. Если мы хотим знать, как температура повлияет на показатель степени, нам нужно знать, как температура повлияет на химический потенциал. Для продолжения предположим, что мы имеем дело с газом невзаимодействующих частиц. Большой потенциал в этом пределе

куда$\mathcal{Z}_\epsilon$- большая статистическая сумма, связанная с уровнем энергии$\epsilon$а также$g(\epsilon)$есть плотность состояний. Интеграл представляет собой просто сумму статистических сумм, связанных с каждым уровнем энергии. Чтобы получить окончательное выражение, мы предположили, что можем аппроксимировать большую статистическую сумму следующим образом:

что соответствует пределу, указанному выше. В качестве краткого отступления, если мы хотим найти среднюю заселенность энергетического уровня$\epsilon$, мы можем использовать

ожидаемое нами распределение Максвелла-Больцмана (во втором равенстве Тейлор разложил логарифм в соответствии с$\beta(\epsilon - \mu) \gg 1$). Теперь плотность состояний для трехмерного газа в ящике можно получить стандартными средствами --- я не буду вдаваться в подробности здесь, но конечный результат таков:

где тепловая длина волны$\lambda$было определено соответствующим образом. Отсюда мы можем написать

и, следовательно

Теперь, чтобы ответить на ваш вопрос. Состояние наверху можно считать пределом$\beta \mu$быть большим и отрицательным. Мы видим из вышесказанного, что

Эта величина будет большой и отрицательной, когда аргумент логарифма мал. Это будет иметь место для а) низкой плотности$N/V$, б) высокие температуры$T$и/или c) частицы большой массы.

Вы должны думать о лежащей в основе ситуации, в которой соблюдается классический предел, как о ситуации, когда количество термически доступных состояний значительно превышает количество частиц. Это связано с тем, что при таких обстоятельствах мы можем игнорировать множественное заселение энергетических уровней, что означает, что мы можем игнорировать мелкие детали неразличимости частиц. В каноническом распределении, когда количество состояний значительно превышает количество частиц, мы можем объяснить неразличимость простой (но приблизительной) поправкой на деление статистической суммы на$N!$--- это надо делать даже в классическом случае, иначе мы столкнемся со всякими проблемами типа парадокса Гиббса. Однако, когда состояния начинают заполняться многократно, этот простой рецепт не работает, и нам нужно быть более изощренными в рассмотрении неразличимости частиц.

Если представить частицы нашего газа волновыми пакетами шириной$\lambda$как определено выше, то вы можете думать о каждой частице как о занимающей объем$\lambda^3$. У этого есть хорошая интерпретация --- количество$N \lambda^3/V$то, что появляется в выражении для химического потенциала, можно рассматривать как долю пространства, занимаемую частицами. Классический предел соответствует тому, что эта величина мала, так что очень маловероятно, чтобы две частицы находились в одном и том же месте, т. е. находились в одном и том же состоянии (здесь я, по сути, рассматриваю состояния нашей системы как собственные состояния положения). а не обычные энергетические собственные состояния). Если эта величина становится больше, мы начинаем получать «множественное заполнение», и поэтому мы предполагаем, что наше классическое приближение не работает. Это последовательно: когда$N \lambda^3 /V \sim 1$, аргумент логарифма химического потенциала больше не является большим и отрицательным, и, таким образом, условие в самом верху этой страницы действительно нарушается.

Надеюсь это поможет!

Путаница возникает из-за того, что существует два вида классических пределов в зависимости от изучаемой системы.

Начнем с фермионов, распределение которых$n_F(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/T}+1}$. Первый классический предел (соответствующий упомянутому в вопросе случаю) равен$T\gg \epsilon-\mu$. Это соответствует случаю, когда температура велика по сравнению со всеми масштабами энергии в задаче, и мы получаем$n_F(\epsilon)=\frac{1}{2}$, что имеет смысл, поскольку в любом состоянии может быть только один или нулевой фермион, поэтому при очень высокой температуре, когда все состояния равновероятны, мы получаем$1/2$. Однако это не тот случай, для которого можно было бы ожидать восстановления статистики Больцмана, потому что для газа свободного фермиона кинетическая энергия$\epsilon_k$не ограничено (и, следовательно,$T\gg \epsilon$это невозможно).

Обычный классический газ соответствует пределу$\mu<0$а также$|\mu|\gg T$, что дает ожидаемое распределение и очень разбавленный газ. Одно показывает, что именно этот предел возвращает обычные классические результаты Максвелла (например, вириальное разложение и т. д.).

Теперь бозоны с распределением$n_B(\epsilon)=\frac{1}{e^{(\epsilon-\mu)/T}-1}$. Классический газ Максвелла получается в том же пределе, что и для фермионов, где$\pm 1$не считается.

Википедия цитирует ограничение$T$большим, чем классическое , по следующей причине: для фотонов$\mu=0$, и таким образом распределение$n_B(\epsilon)=\frac{1}{e^{\epsilon/T}-1}$. В пределе$\gg \epsilon$, получается$n_B(\epsilon)=\frac{T}{\epsilon}$которое является классическим распределением энергии света и дает, например, закон Рэлея-Джинса . Это, конечно, не классическое распределение точечных частиц в газе.

Во вступительном абзаце, который вы с ужасом цитируете, говорится, что температура «достаточно высока», чтобы избежать квантовых эффектов. (Он не сказал ничего вроде «произвольно большой».) Если температура слишком низкая, могут возникнуть такие вещи, как конденсация Бозе-Эйнштейна, которые делают статистику Максвелла-Больцмана недействительной. Температура должна быть достаточно высокой, чтобы квантовый эффект был маловероятным, но не настолько высокой, чтобы возникало образование пар (еще один квантовый эффект). Эти условия не имеют ничего общего с вашим анализом правильности отбрасывания плюса или минуса в знаменателе, что является еще одним условием правильности статистики Максвелла-Больцмана. Другое условие состоит в том, что взаимодействие между частицами должно быть слабым: это все независимые условия.

Постоянная Больцмана довольно мала по макроскопическим меркам:$1.3806488 \times 10^{-23} \mathrm{m^2} \mathrm{kg/s^2 K}$так что вы можете видеть, что$T$должно быть огромным, прежде чем оно достигнет количества, о котором вы беспокоитесь,$(\epsilon−\mu)/\mathrm{kT}$, намного меньше 22.

Статистика Максвелла Больтмана может быть получена с использованием канонического ансамбля, микроканонического ансамбля или гранканонического ансамбля. А также статистика Ферми-Дирака, а также статистика Бозе-Эйнштейна также могут быть получены из любого из микроканонических, канонических или гранканонических ансамблей.