Управляемый гармонический осциллятор с тепловой силой Ланжевена. Как извлечь температуру из x(t)x(t)x(t)?

Предположим, вы запустили гармонический осциллятор (параметры: масса, гамма, омега0) детерминированной силой Fdrive (скажем, синусоида). Теперь предположим, что вы добавляете стохастическую силу Ланжевена FL, которая связана с температурой ванны T.

Вопрос в том, как извлечь информацию о температуре T, просматривая временную трассу x(t), просматривая ее в течение времени НАМНОГО МЕНЬШЕ, ЧЕМ 1/гамма.

Таким образом, вы можете смотреть только на x(t), составляющую долю 1/гамма, и вы хотите знать температуру ванны. Вы уже знаете омега0, гамма и массу.

Я думаю, что это возможно, но я не могу это доказать.

NB: omega0 — резонансная частота генератора gamma — коэффициент затухания FL определяется как =2gammakBTdeltadirac(t2-t1) и =0

Посмотрите, возможно, на коэффициент диффузии частиц Д , что должно быть i) связано с дисперсией позиции как Икс 2 ¯ "=" 2 Д т , и ii) пропорционально температуре, Д ∼ к б Т . См., например, web2.clarkson.edu/projects/crcd/me537/downloads/2_Brownian.pdf
На второй мысли Икс 2 ¯ "=" 2 Д т на свободе т , но вы все равно можете посмотреть на Икс 2 ¯ ( т ) и его производные даже в более коротких масштабах времени. Пропорциональность температуре через интенсивность силы Ланжевена все же должна быть.

Ответы (1)

Принимая

м г 2 Икс г т 2 "=" − к Икс − γ в + Ф ( т ) + η
и писать это как
г Икс т "=" А Икс т г т + Ф т г т + о г Вт т
где Икс т "=" ( Икс , в ) Т , А "=" ( 0 1 − к м − γ м ) , Ф т "=" ( 0 , Ф ( т ) ) Т , о "=" ( 0 , 2 γ к Б Т / м ) Т .

Решая это, как обычно,

Икс т "=" е т А Икс 0 + ∫ 0 т е − ( с − т ) А Ф с г с + ∫ 0 т е − ( с − т ) А о г Вт с

Общее решение здесь немного запутанное из-за экспоненциальной матрицы, но если вы установите к "=" 0 все это значительно упрощается, и вы восстанавливаете процесс Орнштейна-Уленбека.

Теперь у меня нет доказательств этого (я предполагаю, что, по крайней мере, в типичных условиях интегрированный процесс ∫ 0 т ∫ 0 т ′ ф ( с , т ′ ) г Вт с г т ′ имеет меньшую дисперсию, чем ∫ 0 т ф ( с , т ) г Вт с , что, я думаю, эквивалентно утверждению ( ф ( с , т ) ) 2 > ( ∫ с т ф ( с , т ′ ) г т ′ ) 2 ), но при тестировании с помощью моделирования оказалось довольно сложно восстановить температуру по дисперсии Икс т : я вычислил Икс т + Δ т данный Икс т используя приведенную выше формулу, затем взяли дисперсию разницы предсказанного таким образом Икс т + Δ т по сравнению с фактическим Икс т + Δ т . Это все еще оставило остаточный член из-за внешней силы, возможно, из-за численного шума (в том смысле, что метод Эйлера-Маруямы, который я использовал, в численном отношении не соответствует тому, как я достаточно точно вычислил интегралы). Все это говорит о том, что этот подход весьма чувствителен к шуму. Однако это работало намного лучше для скорости (опять же, поскольку ее дисперсия больше),

Вар ⁡ ( в т + Δ т − в т ) "=" ∫ 0 Δ т ( ( 0 , 1 ) е − ( с − Δ т ) А о ) 2 г с

который, как вы можете видеть, линейно зависит от Т .

Если вам не нужен очень автоматизированный процесс, вы, вероятно, можете избавиться от остатков более ручным способом.

Спасибо за Ваш ответ. Не могли бы вы объяснить последний шаг? Кажется, Вар расходится с Дельтатом. Это нормально?
Нельзя ли это сделать ланжевеновским способом, т.е. написать уравнение движения в частотной области и решить для ⟨ Икс 2 ⟩ ?
@alarge Да, согласно моим симуляциям, ваши отклонения действительно чувствительны к шуму. Бесплатных обедов вроде нет, если хотите узнать энергию осциллятора (тепловую энергию), то нужно подождать.... Действительно, если вы посмотрите на спектр <x²>, то увидите лоренциан ширины
γ
на частоте
ю 0
. Если вы хотите разрешить этот лоренцев, вам нужно подождать хотя бы несколько \gamma. Интеграл ниже вашего лоренцева даст вам наверняка температуру. Суть моего вопроса заключалась в том, "можете ли вы позволить себе не ждать несколько
γ
. Вроде нет, но почему...
@pierebean Можете ли вы добавить некоторые конкретные значения переменных, и я посмотрю, удастся ли мне лучше определить температуру?
омега0=2*пи*1е9; гаммаМ=2*пи*1е9/1е3; (добротность 1000) meff=9,025e-15; к=омега0^2*мэфф; Дельтат=0,0001*гаммаМ;
@pierebean Я думаю, что сложность оценки может быть связана с тем, что если мы получим только информацию о положении частицы, состояние будет неполным. Если бы я не удалял выборки с моделируемой траектории (которую я генерирую с помощью Эйлера), реконструкция скорости была бы идеальной, а прогноз температуры находился бы в пределах нескольких процентных пунктов или около того. Однако, если я моделирую более плотно, чем сэмплирую, я больше не могу получить полное состояние, и переменная будет отключена примерно на 30%. Я думаю, что мы могли бы добиться большего успеха, если бы использовали что-то умнее, чем прямой diff.
Управляемый гармонический осциллятор с тепловой силой Ланжевена. Как извлечь температуру из x(t)x(t)x(t)?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v