Теорема Бора-ван Левена и квантовая механика

Преамбула :

Если рассмотреть идеальный газ невзаимодействующих заряженных частиц с зарядом д в однородном магнитном поле Б "=" ∇ ∧ А , то классическая статистическая сумма в каноническом ансамбле имеет вид (в единицах СИ):

Вопрос ( β , В , Н , Б ) "=" 1 Н ! д ( β , В , Б ) Н

где д ( β , В , Б ) "=" ∫ г п г р час 3 е − β 2 м ( п − д А ( р ) ) 2

Если мы проинтегрируем сначала по импульсам по всем возможным значениям из − ∞ к + ∞ для каждого компонента простая замена переменной приводит к

д ( β , В , Б ) "=" В Λ 3 что является результатом идеального газа и где Λ – тепловая длина волны де Бругли.

Если затем кто-то хочет получить намагниченность на частицу мю индуцированное полем Б это просто:

мю "=" − ∂ ⟨ ϵ ⟩ ∂ Б "=" ∂ ∂ Б ( ∂ п ⁡ ( д ( β , В , Б ) ) ∂ β ) "=" ∂ ∂ β ( ∂ п ⁡ ( д ( β , В , Б ) ) ∂ Б ) "=" 0

Это один из способов сформулировать теорему Бора-ван Левена .

Теперь я физически понимаю этот результат как исходящий из некоторой симметрии, связанной с импульсами (вероятность движения вправо с такой же вероятностью, как и влево) и того факта, что границы интеграла по импульсам бесконечны.

Если задача трактуется квантовомеханически, собственные состояния одной заряженной частицы представляют собой дискретизированные уровни Ландау с типичным расстоянием между двумя соседними уровнями, равным ℏ ю с где ю с "=" д Б / м - циклотронная частота, и видно, что сумма по этим состояниям зависит от магнитного поля Б .

Вопросы):

Я теряюсь в своей интерпретации квантово-классического предела для этой системы ... до сих пор я думал, что квантово-> классический предел для статистических свойств отдельной частицы был связан со способом подсчета числа состояний для этой системы. частица, т. е. рассматриваем ли мы набор состояний как континуум или как дискретный набор. Эта аналогия, по-видимому, работает и в этом случае, поскольку классический предел возникает, если к Б Т ≫ ℏ ю с . Однако два основных момента отличаются от того, к чему я привык:

  • Квантовая обработка этой системы дает ненулевой магнитный момент (хотя он обращается в нуль при бесконечных температурах) в пределе, где к Б Т ≫ ℏ ю с в то время как классическая трактовка дает строго нуль.
  • Я не понимаю, как аргумент лево-правой симметрии, используемый в классической статистической сумме, исчезает в квантовой трактовке, чтобы получить статистическую сумму, которая зависит от Б .
  • Существует ли какой-либо классический способ оценить, что квантовые поправки будут иметь порядок? О ( Λ / р с ) где р с ∼ м к Б Т / ( д Б ) типичный размер радиуса винтовой траектории, по которой движется заряженная частица?

Извините, если мои вопросы покажутся запутанными, я постараюсь исправить их, если они недостаточно ясны.

РЕДАКТИРОВАТЬ : я понимаю, что один из моих моментов не очень ясен, и объясню его на примере истинного гармонического осциллятора. Если я рассмотрю классическую статистическую механику, я знаю, что ⟨ 1 2 м ю 2 Икс 2 ⟩ "=" 1 2 к Б Т . Это говорит мне о том, что типичная неопределенность положения моей частицы равна о Икс "=" к Б Т / ( м ю 2 ) . Между прочим, эта длина также является типичной шкалой длины удержания из-за гармонического потенциала. Один из способов полуклассического исследования справедливости классического предела состоит в том, чтобы представить частицу как недисперсионный волновой пакет шириной Λ "=" час / 2 π м к Б Т и понять, что помехи (в конечном итоге ведущие к квантованию) не важны, если Λ ≪ о Икс . Это очень привлекательно, потому что тогда можно проверить правильность классического приближения, используя о Икс это исходит из классического лечения.

Моя самая большая проблема с заряженной частицей в магнитном поле заключается в том, что теорема Бора-ван Левена, по-видимому, не позволяет использовать эту типичную шкалу длины (которую я точно знаю, р с ) можно найти с помощью классической статистической обработки.

Я думаю, что причиной ненулевого магнитного момента является некоммутативность импульса и векторного потенциала.

Ответы (2)

Диамагнетизм Ландау имеет место из-за некоммутативности п и А ( р ) . В классической трактовке такой некоммутативности не существует, поэтому магнитная восприимчивость тождественно равна нулю.

Один из способов оценить зависимость результата от ℏ и в то же время выполнить полную квантовую обработку, чтобы выполнить вычисление в основе когерентного состояния. В этом базисе гамильтониан Ландау имеет вид изотропного двумерного гармонического осциллятора с ларморовской частотой в качестве собственной частоты (подробности см. в следующем вопросе .

ЧАС "=" ℏ ю с ( а † а + 1 2 )

Из-за ненулевого коммутационного соотношения между операторами рождения и уничтожения экспонента оператора Гамильтона определяется выражением:

опыт ⁡ ( − β ЧАС ) "=" опыт ⁡ ( − 1 2 β ℏ ю с ) опыт ⁡ ( − β ℏ ю с а † а ( 1 − е − β ℏ ю с ) )

В базисе когерентного пространства статистическая сумма определяется выражением:

Z "=" ю с ∫ г 2 α опыт ⁡ ( − 1 2 β ℏ ю с ) опыт ⁡ ( − β ℏ ю с α ¯ α ( 1 − е − β ℏ ю с ) ) "=" ю с ( 1 − е − β ℏ ю с ) − 1

(Мультипликативный коэффициент, пропорциональный ю с есть якобиан преобразования объема фазового пространства). (Я неосторожен в нематериальных постоянных терминах).

Эта статистическая сумма дает правильную магнитную восприимчивость. Кроме того, в пределе малых \hbar статистическая сумма становится постоянной, что дает теорему Бора — ван Левена.

Спасибо за ответ. Я не знал этого расчета с когерентными состояниями. Боюсь, однако, что это не полностью отвечает на мои опасения. Одна проблема, с которой я столкнулся, заключается в том, что, как объясняется в вики , теорема Бора-ван Левена возникает из того факта, что средний угловой момент является интегралом от нечетной функции и, следовательно, равен нулю. Технически это кажется очень похожим на вычисление среднего импульса частицы в ящике осциллятора, мы находим ноль по симметрии [продолжение следует]
Это нулевое значение верно независимо от того, имеем ли мы дело с классической или квантовой версией проблемы для свободной частицы в ящике «настоящего» гармонического осциллятора. Поэтому я не понимаю, какая физическая разница в данном случае с магнитным полем.
Странно также, что заряженная частица в магнитном поле — единственный известный мне случай, когда нельзя «строго» указать классическую характерную длину для сравнения с тепловой длиной волны. Кажется очевидным, что эта характерная длина является типичным радиусом р с Я дал выше, и если Λ > р с тогда волновая функция будет такой же большой, как «замкнутые» траектории в плоскости xy, и это эффективное ограничение приведет к квантованию уровней энергии, которые являются уровнями Ландау.
Извините, а каков размерный коэффициент пропорциональности перед Вашим выражением для статистической суммы (оно должно быть безразмерным)?
@ YYY Спасибо за ваше замечание, я обычно предпочитаю сохранять все единицы измерения и константы и считаю, что они улучшают понимание физики. Вот почему я обновлю этот ответ и напишу полные префакторы. Объяснение того, почему коэффициент, пропорциональный ю с присутствует, потому что якобиан преобразования между когерентными координатами и импульсами включает множитель 2 е Б ℏ которая обратно пропорциональна циклотронной частоте. (Интегрирование статистической суммы ведется по всему фазовому пространству).
  • Квантовая обработка этой системы дает ненулевой магнитный момент (хотя он обращается в нуль при бесконечных температурах) в пределе, где к Б Т ≫ ℏ ю с в то время как классическая трактовка дает строго нуль.
  • Я не понимаю, как аргумент лево-правой симметрии, используемый в классической статистической сумме, исчезает в квантовой трактовке, чтобы получить статистическую сумму, которая зависит от Б .

Вывод нулевого магнитного момента (так называемая теорема Бора-ван Левена) из канонического распределения вероятностей является математически правильным. Причина, по которой полученный магнитный момент равен нулю, заключается в использовании канонического распределения вероятностей, в котором говорится, что частица имеет постоянное распределение вероятностей положения внутри ящика, и все направления скорости везде одинаково вероятны.

Равенство всех направлений движения разумно для системы в ящике, потому что частица не может пройти мимо стенок и, как следствие, не может совершать свое естественное круговое движение, если находится достаточно близко к стенке. Если частица ударяется о стенку, она отражается, и поэтому разумно предположить, что все направления равновероятны, даже если частица находится близко к стенке.

Если стенки удалить, заряженная частица совершает круговое движение, не встречая препятствий, и это приводит к тому, что магнитный момент направлен в направлении, определяемом магнитным полем (магнитный момент будет противодействовать магнитному полю - это называется диамагнетизмом). Этот магнитный момент довольно легко вычислить как функцию энергии частицы. Когда многим таким частицам позволено двигаться без этого ограничения, может быть получен большой суммарный магнитный момент. Это возможно, потому что распределение вероятностей скоростей на краях системы больше не является изотропным.

Таким образом, каноническое распределение не подходит для расчета магнитных эффектов - будучи функцией только энергии, оно не может отразить тот факт, что распределение скоростей на краях системы не изотропно, а предпочитает направление циркуляции тока, определяемое внешним магнитным полем. . Предполагается, что намагниченное состояние материи — это то, что должно произойти, когда одиночная невзаимодействующая заряженная частица помещается в ящик, но это физически неверно.

Таким образом, частое использование этого расчета в качестве примера неадекватности неквантовой физики для магнетизма с самого начала ошибочно. В отличие от других применений воображаемого ящика в расчетах статистической физики, для магнитных эффектов внешнего поля нельзя игнорировать влияние ящика на систему. Магнитный момент однородно намагниченного тела может быть полностью уравновешен правильным поверхностным током. В этом случае такой компенсирующий ток обеспечивают отражения от стенок ящика.

Квантовый расчет совсем другой. Сначала находятся собственные значения гамильтониана, а затем вводится бокс. Однако на этот раз он используется только для мысленного ограничения положения центра волновой функции, а не всей ее опоры во всем пространстве. Отсутствует физическое взаимодействие стенок с рассматриваемой системой, которое сделало бы возможным везде изотропное распределение вероятностей скоростей. Также статистическая сумма вычисляется совсем по-другому - как сумма по квантовым числам, а не как интеграл по фазовому пространству. Таким образом, не так уж удивительно, что расчет приводит к нетривиальным магнитным свойствам - в квантовом расчете ящика «на самом деле нет».

Спасибо за ответ. Интересен пункт о стенах, и я с ним встречался иногда (впервые в книге Пайерлса «Сюрпризы в теоретической физике»). Дело в том, что этого эвристического аргумента достаточно, но не обязательно для получения результата Бора-фон Левена. На самом деле, как я объяснил в своем посте, даже до интегрирования по позициям можно проинтегрировать по импульсам, сделав замену переменной п → в "=" п − д А не затрагивая границ интегрирования. Этого достаточно, чтобы получить теорему.
Более того, как я уже указывал, поправки к нулевому классическому результату имеют порядок Λ / р с ∼ ℏ ю с / к Б Т и совершенно не задействуют объем коробки. Поэтому я подозреваю, что на самом деле границы играют роль второго порядка в появлении диамагнетизма в квантовой (статистической) механике (и его исчезновении в классической механике).
@gatsu, я изменил свой ответ. Действительно, каноническое распределение уже приводит к нулевому магнетизму. Канонический дистрибутив — разумный инструмент, когда система находится в коробке. Здесь, однако, каноническое распределение не работает, и одну из причин этого естественно видеть в том, что диамагнетизм происходит не с частицами в ящике, а с частицами, свободно движущимися в магнитном поле. Таким образом, следует избегать коробки и канонического распределения. Квантовый расчет делает это — собственные значения обычно находятся для частицы в бесконечном пространстве, а не для частицы в ящике.
@gatsu не заботится о вычислении собственных значений, но этот расчет верен только в том случае, если ящика нет (система бесконечна). Для вычисления вырождения ящик необходим, но он используется только для счета, физическое взаимодействие системы с ящиком не учитывается.
Эта ветка комментариев уже довольно длинная. Я думаю, вы меня не понимаете, но это нормально, если вы хотите задать какие-то другие вопросы, пожалуйста, задайте их в новой теме, и я постараюсь ответить.
пожалуйста, запишите уравнения, в которых роль ограничивающего ящика явно указана в stat.mech. лечение проблемы. Может быть, так я бы понял. Спасибо.
Коробка подразумевается в классическом вычислении; без него каноническое распределение не имело бы оправдания. Ваш пример из первого сообщения использует это явно.
Вы имеете в виду, что если я проведу расчет в реальном объеме с помощью классического большого канонического ансамбля (без ограничивающей рамки, а просто с наложенной объемной плотностью), я не получу теорему BvL? Опять же, «причина», почему BvL верна, заключается в том, что мы можем отобразить термодинамику классической задачи с любым магнитным полем. Б на термодинамику классической задачи с тождественно нулевым магнитным полем. Это причина, которая, по мнению некоторых, может быть связана со стенами, но априори в них не нуждается; это массовый результат. В любом случае, спасибо за попытку.
Нет, я не это имею в виду. Больцмановское распределение вероятностей зависит только от энергии и, таким образом, само по себе не может дать никакого результата, зависящего от магнитного поля. Я говорю о том, что больцмановское распределение вероятностей неприменимо.
Теорема Бора-ван Левена и квантовая механика
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v