Нормализация статистического интеграла по путям

Итак, я смотрю на статистический интеграл по путям, что означает, что я работаю с евклидовым действием. Пропагатор моего (винеровского) интеграла по траекториям определяется выражением:

$$K(x_T,T|x_0,0)=\int\limits_{x(0)=0}^{x(T)=x_T}\mathcal{D}x\exp\left(-\int\limits_0^T\left[\frac{m}{2}\left(\dot{x}\right)^2+fx\right]d{t}\right),$$ который в основном является свободной частицей в гравитационном потенциале. Поскольку действие квадратично, формула ВКБ $$K(x_T,T|x_0,0)\approx\sqrt{-\frac{1}{2\pi}\frac{\partial^2 S[x_\mathrm{kl}(t)]}{\partial x_0\partial x_T}}\exp\left(-S[x_\mathrm{kl}(t)]\right)$$ должно быть точным.

Уравнение движения дает мне, что путь частицы, удовлетворяющей граничным условиям, определяется выражением:

$$x_\mathrm{kl}(t)=\frac{f}{2m}(t-T)t+\frac{x_T- x_0}{T}t + x_0.$$ Используя этот путь, я могу вычислить классическое действие, которое становится равным: $$S_\mathrm{kl}=-\frac{f^2}{24m}T^3+\frac{f T}{2}(x_T+x_0)+\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}.$$

Подставляя все мои результаты в формулу ВКБ, мы получаем, что пропагатор теперь определяется как:

$$K(x_T,T|x_0,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi T}}\exp\left(-\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}-\frac{f T}{2}(x_T+x_0)+\frac{f^2T^3}{24m}\right).$$ Однако проблема с этим распространителем заключается в том, что он не остается нормализованным. Если я потребую, чтобы пропагатор всегда оставался нормализованным $T$, то мой пропагатор задается следующим образом: $$K(x_T,T|x_0,0)=\sqrt{\frac{m}{2\pi T}}\exp\left(-\frac{m}{2}\frac{(x_T-x_0)^2}{T}-\frac{f T}{2}(x_T+x_0)+\frac{f^2T^3}{24m}\color{blue}-\color{blue}{\frac{fT}{6}}\left[\color{blue}{\frac{fT^2}{m}-6x_0}\right]\right),$$ что дает дополнительный член по сравнению с первой версией.

Дополнительно: метод разделения по времени

Я думаю, что нашел источник своей проблемы, и его можно увидеть, взглянув на бесконечно малый пропагатор, заданный формулой

$$K(x_j,t_j|x_{j-1},t_{j-1})=\sqrt{\frac{m}{2\pi\Delta t_j}}\exp\left(x_{j-1} f \Delta t_j + \frac{f^2}{2m}(\Delta t_j)^3\right)\\\times\exp\left(-\frac{m}{2\Delta t_j}\left[x_j-\left(x_{j-1}+\frac{f}{m}(\Delta t)^2\right)\right]^2\right).$$ В верхней части мы действительно видим, что нормализация получает дополнительный экспоненциальный множитель, из-за которого пропагатор интеграла по путям (во времени) расходится. Также обратите внимание, что он также имеет (более или менее) ту же форму, что и необходимый коэффициент нормализации (подтверждающий мое утверждение выше)!

Вопрос (новый) : Для простоты вычислений я бы хотел, чтобы мой пропагатор оставался нормализованным. Можно ли просто использовать вторую нормализованную версию для моих значений ожидания, или это просто неправильно? Ответ на старый вопрос, конечно, все еще приветствуется, поскольку он может стать актуальным для дальнейшего изучения интеграла по путям.

Вопрос (старый) : Есть ли какая-то лишняя теорема, накладывающая ограничения на корректность формул ВКБ, или я пропустил здесь лишнее важное слагаемое? Я пару раз пересчитывал результат и на первый взгляд все вроде правильно.

О решении

Я также проверил свое решение в литературе (Диттрих и Рейтер), но они нашли такое же (расходящееся) решение без каких-либо объяснений. Так что, по крайней мере, я знаю, что найденное решение правильное. К сожалению, я до сих пор понятия не имею, что это значит для моей физики.