Принцип наименьшего действия за мнимое время

Question

Принцип наименьшего действия за мнимое время

Физика
интеграл по путям
полуклассический
вращение фитиля
квантовая механика
статистическая механика

Алексей Соколик

В квантовой механике амплитуду распространения волновой функции можно найти с помощью интеграла Фейнмана по путям.

⟨ г^{'} | е^{- я т ЧАС / ℏ} | г ⟩ "=" \int_{Икс (0) "=" г Икс (т) "=" г^{'}} Д Икс (т^{'}) опыт {\frac{я}{ℏ} \int_{0}^{т} г т^{'} [\frac{м {\dot{Икс}}^{2} (т^{'})}{2} - В (Икс (т^{'}))]} .

$\langle z'|e^{-itH/\hbar}|z\rangle=\int\limits_{x(0)=z\\x(t)=z'} Dx(t')\: \exp\left\{\frac{i}\hbar\int_0^t dt'\:\left[\frac{m\dot{x}^2(t')}2-V(x(t'))\right]\right\}.$

В (квази)классическом пределе $\hbar\rightarrow0$ , основной вклад в интеграл дает классическая траектория

\frac{г}{г т^{'}} [\frac{м {\dot{Икс}}^{2} (т^{'})}{2}] - \frac{г}{г Икс} [В (Икс (т^{'}))] "=" 0,

$\frac{d}{dt'}\left[\frac{m\dot{x}^2(t')}2\right]-\frac{d}{dx}\left[V(x(t'))\right]=0,$ где действие минимально, а флуктуации вокруг этой траектории вносят квантовые поправки в результат.

В квантовой статистической физике интеграл по путям можно использовать для вычисления матричных элементов матрицы тепловой плотности путем переключения на мнимое время $\tau=it/\hbar$ :

⟨ г^{'} | е^{- β ЧАС} | г ⟩ "=" \int_{Икс (0) "=" г Икс (β) "=" г^{'}} Д Икс (т) опыт {- \int_{0}^{β} г т [\frac{м {\dot{Икс}}^{2} (т)}{2} + В (Икс (т))]} .

$\langle z'|e^{-\beta H}|z\rangle=\int\limits_{x(0)=z\\x(\beta)=z'} Dx(\tau)\: \exp\left\{-\int_0^\beta d\tau\:\left[\frac{m\dot{x}^2(\tau)}2+V(x(\tau))\right]\right\}.$

Каков физический смысл траектории наименьшего действия в мнимом времени? Что означают колебания вокруг этой траектории и как они качественно влияют на результирующие матричные элементы?

Ответы (2)

Принцип наименьшего действия за мнимое время

Qмеханик · Answer 1

Здесь мы прокомментируем один аспект вопроса ОП, который можно сформулировать следующим образом:

Какова связь между приближениями ВКБ для интеграла по путям в Минковском и евклидовым временем?

Это отличный вопрос. Рассмотрим квазиклассический предел $\hbar\to 0^{+}$ .

С одной стороны, во времена Минковского интеграл по траекториям
$\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} Z_{М} & "=" \int Д \frac{ф}{\sqrt{ℏ}} опыт {\frac{я}{ℏ} С_{М} [ф]} \\ \sim \sum_{ф_{с л}} \frac{1}{\sqrt{дет (\dots)}} опыт {\frac{я}{ℏ} С_{М} [ф_{с л}]} для ℏ \to 0^{+} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_M&:=~\int \! {\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{ \frac{i}{\hbar} S_M[\phi]\right\} \cr &\sim~\sum_{\phi_{\rm cl}}\frac{1}{\sqrt{\det(\ldots)}}\exp\left\{\frac{i}{\hbar}S_M[\phi_{\rm cl}]\right\} \quad\text{for}\quad\hbar~\to~0^+ \end{align}\tag{1}$ преобладают стационарные конфигурации $\phi_{\rm cl}$ , т.е. инстантоны, ср. приближение стационарной фазы . См. также соответствующий пост Phys.SE. Квадратный корень определителя в знаменателе указывает гауссовский интеграл квантовых флуктуаций вокруг каждого инстантона.
С другой стороны, в евклидово время интеграл по путям
$\begin{matrix} (2) & \begin{aligned} Z_{Е} & "=" \int Д \frac{ф}{\sqrt{ℏ}} опыт {- \frac{1}{ℏ} С_{Е} [ф]} \\ \sim \sum_{ф_{мин}} \frac{1}{\sqrt{дет (\dots)}} опыт {- \frac{1}{ℏ} С_{Е} [ф_{мин}]} для ℏ \to 0^{+} \end{aligned} \end{matrix}$ $\begin{align} Z_E&:=~\int\!{\cal D}\frac{\phi}{\sqrt{\hbar}}~\exp\left\{- \frac{1}{\hbar} S_E[\phi]\right\} \cr &\sim~\sum_{\phi_{\min}}\frac{1}{\sqrt{\det(\ldots)}}\exp\left\{-\frac{1}{\hbar}S_E[\phi_{\min}]\right\} \quad\text{for}\quad\hbar~\to~0^+ \end{align}\tag{2}$ по-видимому, преобладают глобальные минимумы $\phi_{\min}$ для евклидова действия ср. метод наискорейшего спуска . Все остальное экспоненциально подавляется.

Два метода 1 и 2 кажутся совершенно разными: стационарные точки не совпадают с точками глобального минимума.

Однако, согласно физике, при наличии соответствующих аналитических свойств подынтегральной функции они могут быть связаны через вращение Вика . Известно, что это легче сказать, чем сделать, см., например , этот пост Phys.SE.

Спасибо за ответ! Однако это не касается непосредственно моего вопроса: каков физический смысл траекторий, где евклидово действие минимально? Думается, что, действуя аналогично выводу уравнений Лагранжа (только знак $V(x)$ изменения), мы можем получить уравнение для этой траектории вида $m\ddot{x}=V'(x)$ , что выглядит странно.
Евклидов лагранжиан выглядит как стандартный лагранжиан (т. е. кинетический член минус потенциальный член), с кажущимся потенциалом, равным минус $V$ , см., например, этот и этот посты Phys.SE.

Джи Зоу · Answer 2

Я думаю, что вы должны сначала лучше понять формализм мнимого времени. Ниже мое понимание этой проблемы.

Когда мы имеем дело с проблемой теории конечного температурного поля, мы обычно идем в область мнимого времени и далее используем частоты Мацубары. Как это понять физически? Грубо говоря, можно сказать, что мы преобразуем тепловую флуктуацию в квантовую флуктуацию. Во-первых, нам нужно понять, что такое тепловая флуктуация. Без тепловых флуктуаций конфигурация уникальна. Из-за температуры система может иметь другую конфигурацию с вероятностью:

п \propto е^{- β Е}

$p\propto e^{-\beta E}$ Это то, что мы подразумеваем под тепловыми флуктуациями. Обратите внимание, что нет зависимости от времени, потому что мы заботимся о свойствах равновесия. Но для квантовых флуктуаций у нас есть динамика, и она говорит, что

φ (x, t)

$\varphi(x,t)$ имеет вероятность:

ф (Икс, т) \propto е^{я С (ф (Икс, т)) / ℏ}

$\varphi(x,t)\propto e^{iS(\varphi(x,t))/\hbar}$ Итак, грубо говоря, когда мы переходим к мнимому времени, мы преобразуем тепловые флуктуации (

T

$T$ ) в квантовую флуктуацию (

dynamics: τ

$\text{ dynamics: } \tau$ ):

Тр е^{- β ЧАС} "=" \int Д (\bar{ψ}, ψ) е^{- \frac{1}{ℏ} \int^{β ℏ} г т л (т)}

$\text{Tr} e^{-\beta H }=\int \mathcal{D}(\bar{\psi},\psi) e^{-\frac{1}{\hbar} \int^{\beta \hbar} d\tau L(\tau)}$

Спасибо! Однако меня здесь интересуют более конкретные вещи: 1) какая траектория вносит основной вклад в $\langle z'|e^{-\beta H}|z\rangle$ в классическом ( $\hbar\rightarrow0$ ) и нулевой температуры ( $\beta\rightarrow\infty$ ) пределы? 2) Каков физический смысл колебаний вокруг этой траектории? 3) Квантовые флуктуации выше какого состояния? Как они запутываются/распутываются в интеграле по путям мнимого времени?

Принцип наименьшего действия за мнимое время

Алексей Соколик

Ответы (2)

Qмеханик

Алексей Соколик

Qмеханик

Джи Зоу

Алексей Соколик

Нормализация статистического интеграла по путям

Интеграл по траекториям и мнимое время в квантовой и статистической механике

Классический предел интеграла Фейнмана по траекториям

Теорема Бора-ван Левена и квантовая механика

Граничные условия для гравитационного интеграла по траекториям

Вывод Фейнмана уравнения Шредингера

Почему классический путь дает доминирующий вклад в интеграл по путям?

Квантование энергии в континуальном интеграле и спектр Фурье действия

Всегда ли можно выразить оператор в терминах операторов создания/уничтожения?

Почему мы используем эволюцию воображаемого времени при моделировании некоторой квантовой системы?