Сохраняющиеся заряды/константы движения на и вне оболочки

1. Определение: постоянная движения на оболочке. $F(q,p,t)$удовлетворяет$^1$

   $$\frac{dF}{dt}~\approx~0~\text{for all initial conditions and configurations}.\tag{1}$$ [Здесь$\approx$символ означает равенство по модулю уравнений движения Гамильтона (HEOM). On-shell (в данном контексте) означает, что HEOM удовлетворены. экв. (1) в принципе является функцией$q$,$p$,$\dot{q}$,$\dot{p}$и$t$.

2. Определение: постоянная движения вне оболочки. $F(q,p,t)$удовлетворяет

   $$\{F,H\}_{PB}+\frac{\partial F}{\partial t} ~\equiv~ 0 \tag{2}$$ вне оболочки.

3. Предложение: два определения эквивалентны: опр. 1$\Leftrightarrow$Защ. 2.

$\Leftarrow$доказательство предложения: используйте HEOM.$\Box$

$\Rightarrow$доказательство предложения: обратите внимание, что лев. экв. (2) не зависит от$\dot{q}$и$\dot{p}$. Так что если он равен нулю с помощью HEOM, он также равен нулю без него.$\Box$

исх. 1 и 2 явно не подчеркивают, что ур. (1) должно выполняться для всех начальных условий, а не только при особых обстоятельствах, но это важно, если кто-то хочет иметь эквивалентность с уравнением. (2).

4. Наконец, в качестве важного приложения отметим, что условие вне оболочки (2) — это условие, которое фактически используется в доказательстве теоремы Пуассона (вместе с тождеством Якоби ):

Теорема Пуассона: если$F$и$G$— константы движения вне оболочки, то скобка Пуассона$\{F,G\}_{PB}$— постоянная движения вне оболочки.

5. Чтобы увидеть пример того, что может пойти не так, если eq. (1) не выполняется для всех начальных условий, см., например, мой ответ Phys.SE здесь .

Использованная литература:

1. Г. Гольдштейн, Классическая механика; уравнение (9,97).

2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Механика . 1, 1976; уравнение (42.3). [Обратите внимание, что Ref. 2 ошибочно называет постоянную движения интегралом движения. Согласно Википедии , интеграл движения — это константа движения без явной зависимости от времени.]

3. П.Дж. Олвер, Применение групп Ли к дифференциальным уравнениям, 1993; п. 264.

--

$^1$Обратите внимание, что исх. 1 вызывает состояние вне оболочки формы

$$\frac{dF}{dt}~\equiv ~0\tag{3}$$ тривиальный закон сохранения 2-го рода. При условии, что$F(q,p,t)$не зависит от производных по времени, условие (3) может выполняться только тогда и только тогда, когда$F$является константой, не зависящей от$q$,$p$и$t$.