Почему на цилиндре определено фазовое пространство простого маятника, а не T2T2\mathbb{T}^{2}?

Question

Почему на цилиндре определено фазовое пространство простого маятника, а не T2T2\mathbb{T}^{2}?

Физика
топология
фазовое пространство
сложные системы
классическая механика
гамильтоновский формализм

Алекс

Возьмем уравнение маятника $\ddot{x} = -\sin x$ . Здесь $x \in \mathbb{T}^{1}$ . Теперь перепишите ее как связанную систему первого порядка.

\dot{у} "=" - грех Икс, \dot{Икс} "=" у .

$\dot{y} = -\sin x, \quad \dot{x}=y.$

Интуитивно мы знаем, что $y$ соответствует скорости, норма которой (т.е. скорость) может быть сколь угодно большой или малой, таким образом $y \in \mathbb{R}$ . Следовательно, фазовое пространство маятника – это цилиндр $\mathbb{T}^{1} \times \mathbb{R}$ .

Однако $x(t) = x(t+t_{0})$ на какой-то период $t_{0}$ и по определению $y =\dot{x}$ мы также ожидаем $y(t)=y(t+t_{0})$ , т.е. мы можем сказать $y \in \mathbb{T}^{1}$ .

Это противоречие? Почему мы определяем $y$ Быть в $\mathbb{R}$ и не в $\mathbb{T}$ ?

Любопытный Разум

Это... не то, как вы пишете гармонический осциллятор. Уравнение для гармонического осциллятора:

m \ddot{x} = - k x

$m\ddot{x} = -kx$ , нет

\ddot{x} = - \sin (x)

$\ddot{x} = -\sin(x)$ ! Также,

y = \dot{x}

$y=\dot{x}$ выполняется только на траекториях, являющихся решениями уравнений (правильных) уравнений движения, а не во всем фазовом пространстве (

\dot{x}

$\dot{x}$ даже не имеет смысла без траектории). Я не уверен, какая именно из них является вашей проблемой.

Алекс

Вот почему я сказал «простой маятник», а не гармонический осциллятор! В любом случае, контекст моего вопроса сосредоточен на математическом аспекте, а не на физике (я просто использовал термин маятник, потому что это распространенный пример фазового пространства цилиндра для динамической системы) @ACuriousMind

Любопытный Разум

Для меня «простой» в «простом маятнике» означает, что мы рассматриваем приближение малых углов, где он становится простым . Во всяком случае, кажется, что ваш основной вопрос: «Почему наличие круга для значений обобщенной координаты не заставляет круг для значений его сопряженного импульса?», верно?

Алекс

По сути, да. Но у меня гораздо более общий вопрос относительно произвольной динамической системы, не имеющий никакого отношения к физике: когда мы понижаем порядок оды введением новой переменной, как мы определяем, в каком пространстве находится эта новая переменная? Итак, предположим, у нас была та ода, которую я написал выше... без всякой ссылки на маятник. Как бы мы решили, если

y \in R

$y \in \mathbb{R}$ , основанный на знании того, что

x \in T

$x \in \mathbb{T}$ ?... @ACuriousMind

Ответы (4)

Почему на цилиндре определено фазовое пространство простого маятника, а не T2T2\mathbb{T}^{2}?

Это... не то, как вы пишете гармонический осциллятор. Уравнение для гармонического осциллятора: $m\ddot{x} = -kx$ , нет $\ddot{x} = -\sin(x)$ ! Также, $y=\dot{x}$ выполняется только на траекториях, являющихся решениями уравнений (правильных) уравнений движения, а не во всем фазовом пространстве ( $\dot{x}$ даже не имеет смысла без траектории). Я не уверен, какая именно из них является вашей проблемой.
Вот почему я сказал «простой маятник», а не гармонический осциллятор! В любом случае, контекст моего вопроса сосредоточен на математическом аспекте, а не на физике (я просто использовал термин маятник, потому что это распространенный пример фазового пространства цилиндра для динамической системы) @ACuriousMind
Для меня «простой» в «простом маятнике» означает, что мы рассматриваем приближение малых углов, где он становится простым . Во всяком случае, кажется, что ваш основной вопрос: «Почему наличие круга для значений обобщенной координаты не заставляет круг для значений его сопряженного импульса?», верно?
По сути, да. Но у меня гораздо более общий вопрос относительно произвольной динамической системы, не имеющий никакого отношения к физике: когда мы понижаем порядок оды введением новой переменной, как мы определяем, в каком пространстве находится эта новая переменная? Итак, предположим, у нас была та ода, которую я написал выше... без всякой ссылки на маятник. Как бы мы решили, если $y \in \mathbb{R}$ , основанный на знании того, что $x \in \mathbb{T}$ ?... @ACuriousMind

путьинтегральный · Answer 1

$x\in \mathbb{T}^1$ обозначает структуру самого фазового пространства, а не факт периодичности движения как функции времени. Любое произвольное движение маятника может быть представлено в фазовом пространстве, а не только периодическое (во времени). У нас есть $x\in \mathbb{T}^1$ потому что вы можете вращать маятник вокруг шарнира в течение полного цикла, и в конечном итоге вы окажетесь в том же состоянии. Вы не можете сказать то же самое для $y$ .

Ах я вижу. Ваш комментарий дает мне некоторые ценные идеи здесь. Что уж говорить об общем случае, без всякой привязки к физике. Предположим, у вас есть ода 2-го порядка. Вы делаете замену переменных $y= \dot{x}$ свести систему к системе связанной оды первого порядка. Предполагать $x$ находится в каком-то пространстве: скажем $x \in \mathbb{T}$ . Что вы можете сказать о $y$ ? Будет ли это в $\mathbb{T}$ или $\mathbb{R}$ ? @путьинтеграл
Если вы уберете физику, я не думаю, что вы сможете что-то сказать о ней. $y$ . В квантовой механике ситуация, когда $y\in \mathbb{T}^1$ это когда непрерывные трансляции деградируют до дискретных, т.е. когда ваша "вселенная" представляет собой кристаллическую решетку. Но в КМ состояние не может быть представлено точкой в фазовом пространстве из-за принципа неопределенности Гейзенберга. Размер «пикселя» в фазовом пространстве равен $\hbar$ .

Qмеханик · Answer 2

Если лагранжева формулировка имеет конфигурационное пространство $M$ , а преобразование Лежандра неособо, то соответствующее фазовое пространство в гамильтоновой формулировке есть кокасательное расслоение $T^{\ast}M$ . (Для маятника конфигурационное пространство $M\cong S^1$ это круг.)
Для моделей с 2-тором $S^1\times S^1$ как фазовое пространство, см. этот пост Phys.SE.

Робин Экман · Answer 3

Лагранжева механика определяется на касательном расслоении, касательном расслоении конфигурационного пространства. Для маятника конфигурационное пространство $S^1$ круг. Его касательное расслоение тривиально, поэтому $S^1 \times \mathbb R$ .

Вы можете перейти к гамильтонову описанию, живущему на кокасательном расслоении — оно тоже тривиально, а значит, и $S^1 \times \mathbb R$ . Это пространство начальных условий . Фактическое движение будет периодическим по обеим переменным, но это нечто другое.

(Есть что-то, называемое инвариантными торами, где почти периодическое движение описывает тор в фазовом пространстве. Я не уверен, что это применимо к маятнику.)

Вальтер Моретти · Answer 4

Рассмотрим все возможные движения маятника, $x=x_I(t)\:, \dot{x}=\dot{x}_I(t)$ где $I=\{x_0, \dot{x}_0\}$ обозначает начальные условия этого решения уравнений Гамильтона. Варьируется $I$ у вас есть все возможные решения.

Между двумя гамильтоновыми переменными существует очевидная асимметрия. $x$ всегда можно взять по кругу, т.к. $-\pi \leq x \leq +\pi$ достаточно, чтобы описать все движения маятника независимо от $I$ . Больший интервал был бы излишним для описания положения маятника. Наоборот, нет достаточно большого интервала $[-\dot{X}, \dot{X}]$ который может включать все значения всех функций $\mathbb R \ni t \mapsto \dot{x}_I(t)$ для каждого начального условия $I$ . Этот факт имеет место, даже если каждая такая кривая $\mathbb R \ni t \mapsto \dot{x}_I(t)$ является периодическим.

Почему на цилиндре определено фазовое пространство простого маятника, а не T2T2\mathbb{T}^{2}?

Алекс

Любопытный Разум

Алекс

Любопытный Разум

Алекс

Ответы (4)

путьинтегральный

Алекс

путьинтегральный

Qмеханик

Робин Экман

Вальтер Моретти

Какие есть примеры механики с глобально необобщенной симплектической структурой?

Существует ли физическая система, фазовым пространством которой является тор?

Теорема Лиувилля и сохранение топологии

Вопрос по теореме Лиувилля

Квантовое фазовое пространство

Сохраняющиеся заряды/константы движения на и вне оболочки

Теорема Лиувилля в сферических координатах

Одномерная система гамильтонова система?

Есть ли связь между скобками Пуассона и матрицей Якоби?

Аналогия тензорного оператора в классической физике