Одномерная система гамильтонова система?

Другой подход, отличный от подхода Qmechanic. Обратите внимание, что ваше дифференциальное уравнение подразумевает, что

$$\frac{1}{2}\dot{x}^2 -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2 =E\:,$$ с $E=0$. Это уравнение сохранения для системы второго порядка $$\ddot{x} = -\frac{d}{dx} U(x)$$ где $$U(x) = -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2\:.$$ Это двумерная система Гамильтона, гамильтониан которой равен $$H(x,p)= \frac{p^2}{2} -\frac{\beta^2}{2} x^2 (1-x)^2\:.$$ Решения исходного ОДУ — это в точности те, которые решают уравнения Гамильтона этой новой системы (одно из них $p= \dot{x}$) такой, что $$p(0):= \beta x(0) (1-x(0))\:.$$ Это требование также фиксирует знаки (я предполагаю $\beta>0$) по непрерывности решений. На самом деле необходим более точный анализ, если $x(0)=0$или $x(0)=1$.

Дополнение . На самом деле есть еще одна, еще более простая возможность. Просто определите

$$H(x,p) := p\beta x(1-x)\:.$$ Уравнение Гамильтона для $x$это просто ваше начальное уравнение, которое допускает единственное решение, когда вы фиксируете начальное условие $x(0)$и это не зависит от переменной $p$и на оставшееся уравнение.