Существует ли своего рода теорема Нётер для гамильтонова формализма?

Формулировка действия. Следует подчеркнуть, что теорема Нётер — это утверждение о следствиях симметрий функционала действия (в отличие, например, от симметрий уравнений движения или их решений, см . этот пост Phys.SE). Итак, чтобы использовать теорему Нётер, нам прежде всего нужна формулировка действия. Как получить действие для гамильтоновой теории? Что ж, давайте для простоты рассмотрим точечную механику (в отличие от теории поля, которая является прямым обобщением). Тогда гамильтоново действие имеет вид

$$S_H[q,p] ~:=~ \int \! dt ~ L_H(q,\dot{q},p,t). \tag{1}$$

Здесь$L_H$является так называемым гамильтоновым лагранжианом

$$L_H(q,\dot{q},p,t) ~:=~\sum_{i=1}^n p_i \dot{q}^i - H(q,p,t). \tag{2}$$

Мы можем рассматривать действие (1) как лагранжеву систему первого порядка$L_H(z,\dot{z},t)$в два раза больше переменных

$$(z^1,\ldots,z^{2n}) ~=~ (q^1, \ldots, q^n;p_1,\ldots, p_n).\tag{3}$$

уравнения движения. Можно доказать, что уравнения Эйлера-Лагранжа (ЭЛ) для гамильтонова действия (1) приводят к уравнениям движения Гамильтона

$$\begin{align} 0~\approx~&\frac{\partial S_H}{\partial z^I} ~=~\sum_{J=1}^{2n}\omega_{IJ}\dot{z}^J -\frac{\partial H}{\partial z^I}\cr\cr \qquad\Updownarrow&\qquad\cr\cr \dot{z}^I~\approx~&\{z^I,H\}\cr\cr \qquad\Updownarrow&\qquad\cr\cr \dot{q}^i~\approx~& \{q^i,H\} ~=~\frac{\partial H}{\partial p_i}\cr \qquad \wedge&\qquad\cr \dot{p}_i~\approx~& \{p_i,H\}~=~-\frac{\partial H}{\partial q^i}. \end{align}\tag{4}$$

[Здесь$\approx$символ означает равенство на оболочке, т. е. по модулю уравнений движения (еом).] Эквивалентно, для произвольной величины$Q=Q(q,p,t)$мы можем вместе записать уравнения Гамильтона (4) как

$$\frac{dQ}{dt}~\approx~ \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t}.\tag{5}$$

Возвращаясь к вопросу OP, теорема Нётер может быть применена к гамильтоновому действию (1) для исследования симметрии и законов сохранения.

Утверждение 1: «Симметрия порождается собственным нётеровским зарядом».

Набросок доказательства: пусть задано бесконечно малое (вертикальное) преобразование

$$\begin{align} \delta z^I~=~& \epsilon Y^I(q,p,t), \cr &I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \cr \delta t~=~&0,\end{align}\tag{6}$$

куда$Y^I=Y^I(q,p,t)$являются (вертикальными) генераторами, и$\epsilon$является бесконечно малым параметром. Пусть преобразование (6) является квазисимметрией гамильтониана лагранжиана

$$\delta L_H~=~\epsilon \frac{d f^0}{dt},\tag{7}$$

куда$f^0=f^0(q,p,t)$является некоторой функцией. По определению голый нётеровский заряд равен

$$Q^0~:=~ \sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I} Y^I \tag{8}$$

в то время как полный нётеровский заряд равен

$$Q~:=~Q^0-f^0. \tag{9}$$

Затем теорема Нётер гарантирует тождество Нётер вне оболочки.

$$\begin{align} \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I} &+\frac{\partial Q}{\partial t}\cr ~=~& \frac{dQ}{dt}\cr ~\stackrel{\text{NI}}{=}~& -\sum_{I=1}^{2n} \frac{\delta S_H}{\delta z^I}Y^I \cr ~\stackrel{(4)}{=}~& \sum_{I,J=1}^{2n}\dot{z}^I\omega_{IJ}Y^J\cr &+\sum_{I=1}^{2n} \frac{\partial H}{\partial z^I}Y^I . \end{align} \tag{10}$$

Сравнивая коэффициентные функции$\dot{z}^I$по 2 сторонам ур. (10), заключаем, что полный нётеров заряд$Q$генерирует преобразование квазисимметрии

$$Y^I~=~\{z^I,Q\}.\tag{11}$$ $\Box$

Утверждение 2: «Генератор симметрии по существу является константой движения».

Схематичное доказательство: пусть задано количество$Q=Q(q,p,t)$(априори не обязательно нётеровский заряд), такой, что бесконечно малое преобразование

$$\begin{align} \delta z^I~=~& \{z^I,Q\}\epsilon,\cr &I~\in~\{1, \ldots, 2n\}, \cr \delta t~=~&0,\cr \delta q^i~=~&\frac{\partial Q}{\partial p_i}\epsilon, \cr \delta p_i~=~& -\frac{\partial Q}{\partial q^i}\epsilon, \cr &i~\in~\{1, \ldots, n\},\end{align}\tag{12}$$

создано$Q$, а с бесконечно малым параметром$\epsilon$, является квазисимметрией (7) гамильтонова лагранжиана. Голый нётеровский заряд по определению

$$\begin{align} Q^0~:=~& \sum_{I=1}^{2n}\frac{\partial L_H}{\partial \dot{z}^I} \{z^I,Q\}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~& \sum_{i=1}^n p_i \frac{\partial Q}{\partial p_i}.\end{align}\tag{13}$$

Затем теорема Нётер гарантирует тождество Нётер вне оболочки.

$$\begin{align} \frac{d (Q^0-f^0)}{dt} ~\stackrel{\text{NI}}{=}~& -\sum_{I=1}^{2n}\frac{\delta S_H}{\delta z^I} \{z^I,Q\}\cr ~\stackrel{(2)}{=}~& \sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I} +\{H,Q\}\cr ~=~&\frac{dQ}{dt}-\frac{\partial Q}{\partial t} +\{H,Q\}. \end{align}\tag{14}$$

Во-первых, из теоремы Нётер следует, что соответствующий полный нётеровский заряд$Q^0-f^0$сохраняется на скорлупе

$$\frac{d(Q^0-f^0)}{dt}~\approx~0,\tag{15}$$

который также может быть непосредственно выведен из ур. (5) и (14). Во-вторых, тождество Нётер вне оболочки (14) можно переписать как

$$\begin{align} \{Q,H\}+\frac{\partial Q}{\partial t} ~\stackrel{(14)+(17)}{=}&~\frac{dg^0}{dt}\cr ~=~~~&\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial g^0}{\partial z^I}+\frac{\partial g^0}{\partial t},\end{align}\tag{16}$$

где мы определили количество

$$g^0~:=~Q+f^0-Q^0.\tag{17}$$

Из тождества вне оболочки (16) заключаем, что (i)$g^0=g^0(t)$является функцией только времени,

$$\frac{\partial g^0}{\partial z^I}~=~0\tag{18}$$

[потому что$\dot{z}$не отображается на левой стороне. экв. (16)]; и (ii) что выполняется следующее тождество вне оболочки

$$\{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t} ~=~\frac{\partial g^0}{\partial t}.\tag{19}$$

Обратите внимание, что квазисимметрия и уравнения. (12)-(15) инвариантны, если переопределить генератор

$$Q ~~\longrightarrow~~ \tilde{Q}~:=~Q-g^0 .\tag{20}$$

Затем новый$\tilde{g}^0=0$исчезает. Отбрасывая тильду из обозначения, тождество вне оболочки (19) упрощается до

$$\{Q,H\} +\frac{\partial Q}{\partial t}~=~0.\tag{21}$$

уравнение (21) является определяющим уравнением для постоянной движения вне оболочки $Q$.

$\Box$

Утверждение 3: «Постоянная движения порождает симметрию и является собственным нётеровым зарядом».

Схематичное доказательство: наоборот, если задано количество$Q=Q(q,p,t)$такое, что ур. (21) выполняется вне оболочки, то инфинитезимальное преобразование (12), порожденное$Q$является квазисимметрией гамильтонова лагранжиана

$$\begin{align} \delta L_H ~\stackrel{(2)}{=}~~& \sum_{i=1}^n\dot{q}^i \delta p_i -\sum_{i=1}^n\dot{p}_i \delta q^i \cr &-\delta H +\frac{d}{dt}\sum_{i=1}^np_i \delta q^i \cr ~\stackrel{(12)+(13)}{=}&~ -\sum_{I=1}^{2n}\dot{z}^I \frac{\partial Q}{\partial z^I}\epsilon\cr &-\{H,Q\}\epsilon + \epsilon \frac{d Q^0}{dt}\cr ~\stackrel{(21)}{=}~~& \epsilon \frac{d (Q^0-Q)}{dt}\cr ~\stackrel{(23)}{=}~~& \epsilon \frac{d f^0}{dt},\end{align}\tag{22}$$

потому что$\delta L_H$является полной производной по времени. Здесь мы определили

$$f^0~=~ Q^0-Q .\tag{23}$$

Соответствующий полный нётеровский заряд

$$Q^0-f^0~\stackrel{(23)}{=}~Q \tag{24}$$

это просто генератор$Q$мы начали с! Наконец, теорема Нётер утверждает, что полный заряд Нётер сохраняется на оболочке.

$$\frac{dQ}{dt}~\approx~0.\tag{25}$$

уравнение (25) является определяющим уравнением для постоянной движения на оболочке $Q$.

$\Box$

Обсуждение. Обратите внимание, что использование теоремы Нётер для вывода уравнения является излишним. (25) из уравнения (21). Фактически, ур. (25) следует непосредственно из исходного предположения (21) с помощью теорем Гамильтона (5) без использования теоремы Нётер! По вышеуказанным причинам, как пуристы, мы не одобряем обычную практику обращения к импликации (21)$\Rightarrow$(25) как «гамильтоновскую версию теоремы Нётер».

Интересно, что для гамильтонова действия (1) работает обратная теорема Нётер, т. е. закон сохранения на поверхности (25) приводит к квазисимметрии вне оболочки (12) действия (1), ср. например, мой ответ Phys.SE здесь .

В самом деле, можно показать, что (21)$\Leftrightarrow$(25), ср. мой ответ Phys.SE здесь .

Пример 4: Проблема Кеплера: симметрии, связанные с сохранением вектора Лапласа-Рунге-Ленца в задаче Кеплера, трудно понять с помощью чисто лагранжевой формулировки в конфигурационном пространстве.

$$L~=~ \frac{m}{2}\dot{q}^2 + \frac{k}{q},\tag{26}$$

но может быть легко описано в соответствующей гамильтоновой формулировке в фазовом пространстве, ср. Википедия и этот пост Phys.SE.

Если ваш гамильтониан инвариантен, это означает, что для некоторой функции должна существовать исчезающая скобка Пуассона.$F(q,p)$ваших канонических координат так, чтобы

$$\{ H(q,p), F(q,p)\} = 0$$ Поскольку скобка Пуассона с гамильтонианом также дает производную по времени, вы автоматически получаете свой закон сохранения.

Следует отметить одну вещь: лагранжиан является функцией положения и скорости, тогда как гамильтониан является функцией положения и импульса. Таким образом, ваш$T$а также$V$в$L = T - V$а также$H = T + V$это не одни и те же функции.