Я пытаюсь найти заряд Нётер для симметрии
х → х + е( х )
Это преобразование должно оставить действие инвариантным, поэтому
гС= С( х + ж( х ) , … ) -S( х ) = 0= ∫гт L ( х + f ( х ) ,Икс˙+ф˙, … , t ) − L ( x ,Икс˙, … , т )
С использованиемф( Икс + ϵ ) - ж( х ) ≈ ϵгфгИкс
гС= ∫гт ∂л∂Иксф+∂л∂Икс˙ф˙+∂л∂Икс¨ф¨+ …
Запись второго члена в виде полной производной
гС= ∫гт ∂л∂Иксф+ггт[∂л∂Икс˙ф] -жггт(∂л∂Икс˙) +∂л∂Икс¨ф¨+ …"="∂л∂Икс˙ф∣∣∣Т0+ ∫гт ∂л∂Иксф− фггт(∂л∂Икс˙) +∂л∂Икс¨ф¨+ …
Для членов более высокого порядка мы можем сделать то же самое
∂л∂Икс¨ф¨"="ггт(∂л∂Икс¨ф˙) —ф˙ггт(∂л∂Икс¨)"="ггт(∂л∂Икс¨ф˙) —ггт( жггт(∂л∂Икс¨) )+ фг2гт2(∂лгИкс¨)
Итак, теперь интеграл становится
гС"="∑п = 0Н∂л∂Икс( п + 1 )ф( н )∣∣∣Т0+ ∫гт ф [∑п = 0Н( − 1 )нгнгтн(∂л∂Икс( н )) ] -ггт( жггт(∂л∂Икс¨) ) +…= 0
Где сумма под интегралом представляет уравнения Эйлера-Лагранжа для невозмущенного действия. Я как бы ожидаю, что термины в штучной упаковке также исчезнут, оставив только первый термин. Правильно ли я сделал, какие шаги я пропустил?
Qмеханик