Теорема Нётер: основы

В комментарии вы пишете

симметрии пространства-времени не укладываются в рамки действия, поскольку действие является функционалом только от полей, а не от пространства-времени (пространство-время здесь выступает просто как фиктивная переменная

Это не совсем правильно. Данное преобразование пространства-времени часто вызывает преобразование самих полей, и таким образом преобразования пространства-времени вписываются в рамки действия.

Легче всего и наглядно это проиллюстрировать на простом примере.

Пример. Рассмотрим теорию одного вещественного скалярного поля на$\mathbb R^{3,1}$(пространство Минковского). Позволять$\mathcal F$обозначают пространство полей, рассматриваемых в теории (которое обычно состоит, например, из предположений о гладкости и предположений о поведении полей на бесконечности). Функционал действия будет функцией$S:\mathcal F\to \mathbb R$.

Теперь, с одной стороны, группа Лоренца$\mathrm{SO}(3,1)$действует естественным образом на$\mathbb R^{3,1}$, а именно через групповое действие$\rho:\mathrm{SO}(3,1)\to \mathrm{Sym}(\mathbb R^{3,1})$определяется следующим образом:

$$\begin{align} \rho(\Lambda)(x) = \Lambda x, \end{align}$$ где $\mathrm{Sym}(S)$обозначим множество биекций на множестве $S$. С другой стороны, это групповое действие вызывает действие $\rho_\mathcal F$из $\mathrm{SO}(3,1)$на $\mathcal F$, пространство полевых конфигураций следующим образом: $$\begin{align} \rho_\mathcal F(\Lambda)(\phi)(x) = \phi(\Lambda^{-1} x), \end{align}$$ что иногда пишут как $\phi'(x) = \phi(\Lambda^{-1} x)$для краткости. Именно это действие $\mathrm{SO}(3,1)$на полях, которые можно было бы использовать для встраивания пространственно-временных симметрий в структуру действия. В частности, в этом случае мы могли бы сказать, например, что $S$является лоренц-инвариантным при условии $$\begin{align} S[\rho_\mathcal F(\Lambda)(\phi)] = S[\phi] \end{align}$$ для всех $\Lambda\in\mathrm{SO}(3,1)$и для всех $\phi\in\mathcal F$. Все это можно также легко распространить на теории полей более сложных типов, таких как векторные и тензорные поля. В таких случаях действие $\rho_\mathcal F$в общем случае будет более сложным, поскольку будет содержать преобразование целевого пространства.