Часто говорят, что классический заряд становится квантовым генератором после квантования. На самом деле это верно для простых примеров энергии и импульса. Но почему это должно быть так математически?
Для ясности предположим, что мы выполняем каноническое квантование, так что скобки Пуассона становятся коммутаторами. Я предполагаю, что причина как-то связана со связью между классической гамильтоновой механикой и уравнением Шрёдингера. Возможно, существует простая формулировка теоремы Нётер в классическом гамильтоновом контексте, которая делает квантовую аналогию совершенно ясной?
Любые подсказки или ссылки будут высоко оценены!
Математическая основа
В классической механике непрерывное преобразование лагранжиана, оставляющее действие неизменным, называется симметрией. Это дает сохраняющийся заряд по теореме Нётер. остается неизменной на всем протяжении движения системы.
В квантовой механике непрерывное преобразование осуществляется через представление группы Ли. на гильбертовом пространстве состояний. Мы настаиваем на том, чтобы это представление было унитарным или антиунитарным, так что вероятности сохраняются.
Непрерывное преобразование, сохраняющее решения уравнения Шредингера, называется симметрией. Легко доказать, что это эквивалентно для всех представляющее преобразование, где является оператором Гамильтона.
Точно так же мы можем рассматривать непрерывное преобразование как сопряженное действие унитарного оператора на пространстве эрмитовых наблюдаемых теории
куда . Это немедленно дает представление алгебры Ли на пространстве наблюдаемых
обычно называется генератором. Очевидно, что если описывает симметрию, тогда будет сохраняющейся величиной во временной эволюции квантовой системы.
Редактировать
У меня возникла мысль, что, возможно, это связано с «гамильтоновыми векторными полями» для функций на симплектическом многообразии. Предположительно после квантования их можно связать с генераторами алгебры Ли, действующими на волновые функции на многообразии. Это звучит правильно для всех?
Рассмотрим формализм квантового поля, где поля являются операторами. Например, рассмотрим для простоты заряженное скалярное поле с действием , с полем:
куда - операторы рождения/уничтожения частицы, и оператор рождения/уничтожения античастицы.
Если у нас есть бесконечно малое преобразование, , оставив без изменений действие , сохраняющийся ток равен (пропуская бесконечно малые параметры), а сохраняющийся обобщенный заряд равен - где являются сопряженными импульсами , и знак для нормального упорядоченного продукта (операторы уничтожения справа).
Мы видим, конечно, что является оператором.
Пример: стандартный (электрический) заряд является сохраняющейся величиной, которая соответствует (глобальному) преобразованию , здесь бесконечно малое преобразование , поэтому имеем:
Или, что то же самое:
И у нас есть :
Каноническое квантование по Дираку должно удовлетворять следующим аксиомам:
Q1: карта который назначает оператор каждой функции в фазовом пространстве, является линейным, и постоянные 1-функции отображаются на 1-оператор
Q2: Скобка Пуассона отображается в коммутатор, украшенный
Q3: Полная система функций в инволюции отображается в полную систему коммутативных операторов.
Это последнее условие, которое гарантирует, что является симметрией с квантовой стороны (назначение должно быть неприводимым представлением генераторов симметрии). Но теоремы No-Go Грюнвальда и Ван Хова показывают, что квантование для всех наблюдаемых с Q1-Q3 невозможно. Два главных решения: Ослабить Q2 и потребовать, чтобы он сохранялся только до первого порядка - это приводит к деформационному квантованию. С другой стороны, геометрическое квантование модифицирует Q3 в том смысле, что оно должно выполняться только для некоторой разумной подалгебры функций (например, содержащей импульс и т. д.).
Qмеханик
Эдвард Хьюз
джошфизика
Эдвард Хьюз
Эдвард Хьюз