Вывод сохранения барионного числа?

«Вывод» закона сохранения барионного числа -

Рассмотрим лагранжиан КХД (плотность)

$$\mathcal{L} = \bar{\psi}(i\gamma^\mu D_\mu - m)\psi - \frac{1}{4}G^a_{\mu\nu}G_a^{\mu\nu}$$

где символы имеют свое обычное значение.

Это инвариант относительно$U(1)$, что есть не что иное, как умножение$\psi$по глобальному фазовому фактору$e^{i \theta}$. Это потому что$\bar \psi$подбирает соответствующий множитель с противоположной фазой, и они компенсируют друг друга в первом члене.

Чтобы использовать теорему Нётер, переписав это как

$$\psi'(x) = e^{i \theta} \ \psi(x) \approx \psi(x) + i\theta \psi(x)$$ до первого порядка (маленький $\theta$, как в инфинитезимальных преобразованиях). Этот $U(1)$форма инвариантности является очень частным случаем инвариантности относительно глобальных преобразований типа $$\psi'(x) = e^{i \theta^a \Gamma_a} \psi(x) \approx \psi(x) + i\theta^a \Gamma_a \psi(x)$$ где $\Gamma_a$относится к генераторам унитарной группы, действующим на кварковое поле $\psi$.

Используя теорему Нётер для общего случая, нужно проделать обычные шаги: записать изменение действия,

$$\delta S \equiv \int d^4 x \delta \mathcal{L} = 0$$ затем расширяя это $\delta \mathcal{L}$с точки зрения изменения в $\psi$и те, кто в $\partial_{\mu} \psi$, затем интегрируя по частям, чтобы получить сохраняющийся ток Нётер $$J_a^{\mu}(x) = \bar \psi (x) \gamma^{\mu} \Gamma_a \psi (x)$$ который удовлетворяет $$\partial_{\mu} J_a^{\mu}(x) = 0$$ То же самое может быть брошено в виде заряда $$Q_a = \int d^3 x J_a^0 (x)$$ с $$\frac{dQ_a}{dt} = \int d^3 x \frac{\partial J_a^0 (x)}{\partial t} = - \int d^3 x \nabla \cdot J_a = 0$$ при условии, что токи достаточно быстро затухают на пространственной бесконечности. Это условие в любом случае используется даже в электродинамике при выводе закона сохранения полного заряда с использованием того же аргумента.

Таким образом, нулевая компонента этого нётеровского тока, интегрированная по 3-мерному пространству (следовательно, дающая заряд), глобально сохраняется . Это мощный результат для общего случая.

Возвращаясь к интересующему вопросу -$U(1)$инвариантность. Используя общий результат, вы можете заметить, что в этом случае индекс отсутствует.$a$и единственная гамма - это тождество (сопоставляющее два уравнения). Таким образом, подставляя в общем случае, наш сохраняющийся ток имеет вид

$$J_{\mu} = \bar \psi \gamma_{\mu} \psi$$ и сохраняющийся заряд читается $$Q = \int d^3 x \bar \psi \gamma_0 \psi$$ который можно переписать как $$Q = \int d^3 x \psi^{\dagger} \psi$$ используя известные свойства гамма-матриц.

Обратите внимание на две вещи:

1) Мы использовали аргументы инвариантности, которые всегда могут учитывать мультипликативный множитель, поскольку это не изменит инвариантность.

2)$\psi^{\dagger} \psi$является числовой плотностью . (Вы можете вспомнить определение числового оператора, например, в гармоническом осцилляторе в базовом QM, и экстраполировать.)

Таким образом, взяв, к примеру, КХД Lite , где интересующие кварки$u$,$d$и$s$, любой барион будет состоять из них, и мы всегда можем нормализовать сохраняющийся заряд с коэффициентом$1/3$, по одному для каждого аромата творога. Кроме того, числовая плотность, интегрированная по трехмерному пространству, даст число . Следовательно, сложив эти два вместе, мы можем записать как сохраняющийся заряд

$$B = \frac{1}{3} \int d^3 x \ \psi^{\dagger} \psi$$ (где $\psi$охватывает три вкуса), что можно интерпретировать как (глоток) Барионное число.

Таким образом, барионное число можно интерпретировать как сохраняющийся заряд, соответствующий$U(1)$инвариантность лагранжиана КХД.