Топология калибровочной группы

Абсолютно. Во многих случаях топология имеет важное значение для калибровочных теорий.

Возможно, самый примечательный пример касается классификации солитонов в калибровочной теории, которая подверглась действию механизма Хиггса. Если калибровочная группа$G$относится к подгруппе Хиггса$H$скалярным полем$\phi$, можно попытаться найти стабильные конфигурации поля, которые нельзя непрерывно деформировать до вакуумной конфигурации (без бесконечных затрат энергии). Для конфигурации поля конечной энергии в$\mathbb{R}^{d-1}\times \mathbb{R}_\text{time}$,$\phi$должны асимптотировать к конфигурации с нулевой энергией на границе пространства. затем$\phi$определяет карту из бесконечно большой сферы в пространстве$S^{d-2}$к$G/H$. Эти карты классифицируются по$\pi_{d-2}(G/H)$.

Самый простой пример появляется в абелевой модели Хиггса в$2+1$Габаритные размеры. У нас есть калибровочная теория U(1) с действием

$$S = \int \mathrm{d}^3 x\, \left [ - \frac{1}{4} F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} + |D_\mu \phi|^2 - V(|\phi|) \right],$$ с $$V(|\phi|) = \frac{\lambda}{4} (|\phi|^2 - v^2)^2.$$ Классические минимумы имеют место для $|\phi| = v$, а калибровочная симметрия полностью хиггсовская. Гамильтониан $$H = \int \mathrm{d}^2\mathbf{x} \left[\frac{1}{2} (E^2 + B^2)+ |D_i \phi|^2 + V(|\phi|) \right].$$ Мы ищем конфигурацию поля, которая не может непрерывно деформироваться до вакуумного решения. Если конфигурация должна иметь конечную энергию, $V(|\phi|)$должен стремиться к нулю в пространственной бесконечности, поэтому $|\phi|$должен подойти $v$. Фаза $\phi$не фиксируется, однако $$\phi(r,\theta) \overset{r\to\infty}{\longrightarrow} v e^{i\sigma(\theta)}.$$ Таким образом, $\phi$определяет карту от круга в пространственной бесконечности до U (1) и, таким образом, определяет класс $[\phi]\in\pi_1(U(1))=\mathbb{Z}$. Это целое число является номером обмотки карты. $\phi$. Поскольку целое число не может непрерывно меняться при непрерывных деформациях $\phi$, конфигурация поля с ненулевым номером витка не может быть непрерывно деформирована до вакуумной конфигурации (с нулевым номером витка). Нужно также, конечно, следить за тем, чтобы остальные члены гамильтониана были конечными. Сделав это, можно деформировать эту топологически нетривиальную конфигурацию поля до минимизации энергии и тем самым получить устойчивую конфигурацию поля, не связанную с вакуумом. Этот солитон называется вихрем. Дополнительные сведения см., например , в Preskill, Lectures on Vortices and Monopoles .

Я приведу еще один, несколько более абстрактный пример приложения. Калибровочная теория с калибровочной группой$G$над пространственно-временным многообразием$M$описывается математически принципом$G$-пучок$P$над$M$,$G \to P \to M$. Такое расслоение классифицируется характеристическими классами в группах когомологий$\left\{H^k(M,\pi_{k-1}(G))\right\}_{k=1}^{\dim M}$. Для четырехмерного многообразия это группы

$$H^1(M,\pi_0(G))\\ H^2(M,\pi_1(G))\\H^3(M,\pi_2(G))\\H^4(M,\pi_3(G)).$$ Пусть калибровочная группа связна, так что $\pi_0(G) = 0$а также $H^1(M,\pi_0(G)) = 0$. Для любой группы Ли $G$, $\pi_2(G) = 0$, так $H^3(M,\pi_2(G))$также не имеет значения. Для всех классических групп Ли $\pi_3(G) = \mathbb{Z}$(за исключением $G = \mathrm{SO(4)}$). Затем класс в $H^4(M,\mathbb{Z})$задает инстантонный номер пакета.

Наконец, у нас есть$H^2(M,\pi_1(G))$. Если калибровочная группа не является односвязной ($\pi_1(G) \neq 0$), класс в этой группе предоставляет дополнительные топологические данные, необходимые для уточнения калибровочной теории помимо обычного инстантонного числа. Характеристический класс в этой группе называется дискретным магнитным потоком или потоком 'т Хоофта калибровочной теории. Более подробное обсуждение таких идей см., например , в Witten, Supersymmetric Index in Four-Dimensional Gauge Theory .