В чем разница между калибровочной теорией с группой GGG и теорией с ее универсальным покрытием?

(Этот ответ относится к теории Янга-Миллса в 4 (евклидовых) измерениях, а не к калибровочным теориям в целом, но принципы являются общими и могут быть повторены для любого другого случая)

Возмутительно:

Чистая калибровочная теория обязательно и$\mathrm{Ad}G$, так как калибровочные поля преобразуются по присоединенному представлению. Но представления присоединенной группы включают только часть (интегрируемых) представлений соответствующей алгебры Ли. Например, представление$\mathbf{3}$не является представлением$\mathrm{Ad}SU(3)$. Таким образом, присоединенная теория может быть связана с присоединенными фермионами, но никакие фундаментальные фермионы не могут быть включены в эту теорию без расширения ее калибровочной группы до универсального покрытия. Этот факт имеет решающее значение, например, для закономерностей нарушения симметрии теории и возможности существования монополей. См. мой ответ на следующий вопрос PSE .

Невозмущающий:

Возможные конфигурации калибровочных полей (например, те, которые включены в интегралы по путям, зависят от классификации основных расслоений с соответствующей калибровочной группой. Эта классификация известна для компактно ориентированных$4$многомерные многообразия, см. лекцию №. 13 лекций Бена Мареса по калибровочной теории .

Эта классификация известна как теорема Дольда-Уитни, которая утверждает, что главные компактные простые групповые расслоения над компактными ориентированными многообразиями классифицируются по:

1. Инстантонное число.
2. Дискретный магнитный поток 'т Хофта, являющийся элементом$H^2(M, \pi_1(G))$.

(при условии согласованности).

Оба параметра зависят от центра группы; таким образом, они различны между группой и ее универсальной оболочкой. Число инстантонов дробно для неодносвязных групп, а поток 'т Хоофта явно зависит от центра.