Означает ли существование инстантонов нетривиальные когомологии пространства-времени?

Во-первых, рассуждения в вопросе о классах изоморфизма расслоений неверны, так как$\check{H}^1(M,G)$из связанного поста math.SE не является когомологией$M$с коэффициентами в$G$, но на самом деле когомологии Чеха$M$для снопа$\mathscr{G} : U\mapsto C^\infty(U,G)$.

Однако это действительно имеет отношение к когомологиям$M$себя для$G = \mathrm{U}(1)$, с помощью

$$0 \to \mathbb{Z} \to \mathbb{R} \to \mathrm{U}(1) \to 0$$ который превращается в $$0 \to C^\infty(U,\mathbb{Z})\to C^\infty(U,\mathbb{R}) \to C^\infty(U,\mathrm{U}(1))\to 0$$ поскольку $C^\infty(M,-)$остается точным, и можно убедиться, что эта конкретная последовательность по-прежнему точна, поскольку отображение $C^\infty(M,\mathbb{R})\to C^\infty(M,\mathrm{U}(1))$работает, просто разделив $\mathbb{Z}$снаружи $\mathbb{R}$. Рассматривая это как связную последовательность $0\to \mathscr{Z}\to \mathscr{R} \to \mathscr{G} \to 0$, $\mathscr{Z} = \underline{\mathbb{Z}}$за $\underline{\mathbb{Z}}$локально постоянный пучок, так как $\mathbb{Z}$дискретен, а пучок гладких вещественнозначных функций на многообразии ацикличен из-за существования разбиений единицы, поэтому, взяв когомологии пучка, получаем $$\dots \to 0 \to H^1(M,\mathscr{G}) \to H^2(M,\underline{\mathbb{Z}})\to 0 \to \dots$$ и поэтому $H^1(M,\mathscr{G}) = H^2(M,\underline{\mathbb{Z}}) = H^2(M,\mathbb{Z})$где последний объект — это обычные целочисленные когомологии $M$. Следовательно, $\mathrm{U}(1)$расслоения действительно полностью классифицируются по их первому классу Черна, который физически представляет собой (магнитный!) поток через замкнутые 2-циклы, и существование нетривиальных $\mathrm{U}(1)$-расслоения влекут за собой нетривиальные вторые когомологии пространства-времени (или, скорее, одноточечного компактифицированного пространства-времени). $S^4$так как можно было бы говорить о конфигурации поля «на бесконечности» и обрамлении пучка на бесконечность). Действительно, поскольку $H^2(S^4) = 0$, Существование $\mathrm{U}(1)$-инстантоны противоречили бы идее о том, что пространство-время $\mathbb{R}^4$.

Для общего компактного, связанного$G$, оказывается, что возможные инстантоны практически не зависят от топологии$M$потому что родовой инстантон локализован вокруг точки, как показывает конструкция инстантона BPST — у инстантона есть центр, и действительно можно представить форму Черна-Саймонса как «поток», который вытекает из этой точки, порождая нетривиальный$\int F\wedge F$.

Топологически это можно понять, представив$S^4$, и задавая пучок, задавая калибровочные поля на двух полушариях, склеивая, указав калибровочное преобразование на перекрытии двух, которое можно сжать до$S^3$, т. е. расслоение задано отображением$S^3\to G$, а гомотопическими классами таких отображений является третья гомотопическая группа$\pi_3(G)$, который$\mathbb{Z}$для полупростого компакта$G$. Поскольку «экватор» можно свободно перемещать по$S^4$, или даже сжиматься сколь угодно близко к точке, эта конструкция на самом деле не зависит от глобальных свойств$S^4$, это можно сделать "вокруг точки".

Таким образом, инстантоны вообще ничего не говорят нам о топологии пространства-времени.

---

Этот ответ основан на ответе PhysicsOverflow на тот же вопрос.

Я согласен со многим из того, что вы говорите, но я не согласен с выводом, который вы делаете: топологически тривиальное пространство-время не может поддерживать нетривиальные G-расслоения и, следовательно, не имеет инстантонов. Таким образом, существование инстантонов всегда говорит вам о том, что пространство-время нетривиально. Люди, утверждающие, что инстантоны существуют на$\mathbb{R}^4$игнорируют ключевой момент: когда мы требуем, чтобы конфигурация поля обращалась в нуль на «бесконечности», мы на самом деле говорим, что пространство-время представляет собой четыре сферы. (Точнее, мы говорим, что конфигурация поля должна быть такой, которая расширяется до четырех сфер, что является одним и тем же для целей рассмотрения G-расслоений).

Я согласен с тем, что если пространство-время является четырехсферой или любым многообразием с тривиальными вторыми целочисленными когомологиями, то оно не может поддерживать нетривиальное расслоение окружностей и не допускает абелевых инстантонов. Следовательно, да, существование абелева инстантона означало бы, что пространство-время имеет нетривиальные вторые когомологии.

Для неабелевой калибровочной группы вы утверждаете, что возможность сжать экватор сколь угодно близко к точке означает, что построение не зависит от глобальной топологии пространства-времени. Не так. Вы описываете конструкцию «функции сцепления» основных расслоений над сферами (которая уже ссылается на очень специальную топологию сферы). И все дело в том, что инстантонные заряды оцениваются в гомотопических группах калибровочной группы именно потому, что вы можете иметь отображение из$S^3$к вашей калибровочной группе с нетривиальным номером обмотки. Да, вы можете уменьшить «экватор»$S^4$сколь угодно близко к точке, но вы не можете свернуть его в точку. Нетривиальный номер поворота карты от экватора до калибровочной группы никогда нельзя отменить, просто сжав копию сферы вниз. Одним из нечетких способов сказать, что такое число намотки (инстантонный заряд), было бы «препятствием гомотопированию этой карты».$S^3 \to G$к карте$\{pt\} \to G$(Помните, если мы говорим о топологии, то сжатие сферы «очень близко к точке» ничего не значит — важно только, может ли рассматриваемое отображение быть расширено внутрь сферы и, следовательно, действительно сократилось до точки).

Если вы внимательно прочитаете свой ответ, я думаю, вы обнаружите, что на самом деле он утверждает обратное: инстантоны могут многое рассказать нам о топологии пространства-времени. Пожалуйста, обратитесь к математической области теории Дональдсона, где все дело заключается в извлечении инвариантов четырехмерных многообразий из инстантонных пространств модулей.