Третий закон Кеплера: отношения не соответствуют данным

что равенство должно быть пропорционально знаку. В частности, в системе СИ квадрат периода измеряется в секундах в квадрате, а большой полурадиус орбиты в кубе выражается в кубических метрах, поэтому они не могут быть равны.

Вместо этого я бы проверил,$T^{2}/a^{3}$постоянна для разных спутников, вращающихся вокруг одного и того же объекта (например, МКС и Луна)

Общая форма закона периодов Кеплера:$T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}a^3$. Часто мы делаем упрощающее предположение, что$M\gg m$, так что$M+m \approx M$.

Закон периодов Кеплера принимает только форму$T^2 = a^3$(забывая о единицах) при использовании определенных величин - в этом случае$M$солнечная масса,$T$являющийся земным годом, и$a$быть астрономической единицей.

Попробуйте подставить в уравнение массу Земли (и не заморачиваться с массой спутника) и использовать в качестве единиц измерения метры и секунды. Смотрите, если вы получите правильный результат!

Третий закон Кеплера утверждает, что$p^2 \propto a^3$. Знак равенства, который вы используете, неверен.

Как указывали другие, знак равенства неверен. Я хотел написать ответ, чтобы сказать, почему это должно быть.

Предположим, уравнение$P^2=a^3$(т.е. с равенством). Я измерил период обращения Юпитера (11,86 земных года) и большую полуось (5,204 а.е.), возвел в квадрат одно и кубировал другое, и, похоже, это работает.

Но тогда предположим, что на самом деле я не хочу работать в AU, поэтому вместо этого измеряю расстояние в км. Я до сих пор измеряю период в годах, потому что это достаточно удобно. Внезапно численное значение большой полуоси намного больше, потому что километры намного меньше, чем а.е. Итак, теперь равенство нарушено.

В результате вы не можете написать уравнения, которые приравнивают левую часть, измеренную в единицах [Время]^2, к правой части, измеренной в единицах [Длина]^3. Или на самом деле любое уравнение с разными единицами измерения с обеих сторон - потому что, если оно верно для одного примера, то простое изменение масштаба длины сделает его неверным.

PS: Для планет 3-й закон Кеплера будет выполняться с равенством, если вы измеряете в а.е. и земных годах, которые являются величинами разумного размера. Для спутников вы можете обнаружить, что их орбитальный радиус бесполезно мал, если вы измеряете их все в астрономических единицах. Надежный вариант — просто использовать полную константу пропорциональности.$4\pi^2 / (GM)$, или вы можете выбрать один спутник наугад и измерить все остальные параметры спутника в единицах «года» этого спутника и радиуса орбиты.

Знак равенства неверен, вообще говоря. В более общем смысле это отношения пропорциональности. Вот хорошая мнемоника для запоминания этого соотношения.

Деление на$m$и сдвинув все в одну сторону, имеем:

Предположим, что орбитальное движение является грубо гармоническим. Тогда у нас есть$\omega=\frac{GM}{r_{avg}^3}$где$\omega$угловая скорость =$2\pi/T$где$T$- орбитальный период.

Тогда у нас есть:

Так:

Подчеркну, что это бейсбол, хотя и очень точный, мнемонический. $M$используется только приблизительно правильно и основано на предположении, что тело, вращающееся по орбите, намного массивнее, чем объект, совершающий движение по орбите.

Гораздо точнее сказать, что среднее гармоническое для апсид равно$\frac{GMm^2}{L^2}$где$G$гравитационная постоянная Ньютона,$M$- масса тела на орбите,$m$- масса вращающегося тела и$L$представляет собой угловой момент. Снова M является приближением.