Удержание воздуха в гигантском гравитационно связанном космическом шаре

Параметры поверхности

Чтобы рассчитать размер сферы, нам понадобится
уравнение гравитационного поля:

$$\nabla\vec{g} = -4\pi G \rho \qquad (1)$$ и гидростатическая версия 2-го закона Ньютона: $$\rho \vec{g} = \nabla p \qquad (2)$$ где $G$гравитационная постоянная,
$\rho$– плотность «покрытия»,
$p$давление внутри «крышки».

Для решения первого уравнения можно использовать теорему Гаусса.
В сферических координатах это даст$\vec{g} = \bigl(-g(r), 0, 0\bigr)$.

Второе уравнение даст распределение давления в «крышке». На внутренней поверхности оно равно давлению газа. На внешней поверхности он равен нулю.

Стабильность

Поверхность, описываемая уравнением (2), ведет себя так, как будто она состоит из воды. Моя интуиция говорит, что он нестабилен.

Если мы приложим небольшой кусочек от внешней поверхности к внутренней, он будет иметь меньшую гравитационную потенциальную энергию. Изменение давления будет незначительным, особенно для мелких частиц. Это известно как нестабильность Рэлея-Тейлора (спасибо @mmc).

Чтобы получить устойчивую поверхность, нам нужен твердый материал. В этом случае в уравнении (2) появляются дополнительные силы. Тогда, если мы увеличим давление газа, крышка расширится, но не улетит. Его будут удерживать упругие силы.

Однако в этом случае давление должно быть настолько высоким, чтобы устойчивость воздушного шара была основана на деформации, а не на силе тяжести. Так что это будет обычный воздушный шар.

Мой ответ будет бесстыдно ньютоновским и физико-химическим в формулировке. Чтобы начать с предположений, я собираюсь предположить, что воздух не имеет массы. Насколько это справедливо? Плотность воздуха примерно в 1000 раз выше, чем у других материалов, таких как камень и бетон, поэтому мы рассматриваем примерно такое же соотношение объемов, прежде чем воздушная масса станет значительной по сравнению со стеной, и, как вы увидите далее в расчетах, это не так. вполне может быть, пока объект действительно не приблизится к размерам Земли.

Сила тяжести на поверхности шара будет следующей.

$$g = \frac{G M }{R^2}$$

Здесь я использовал переменную M для обозначения общей массы стены. Это не то поле, которое действует на стену из-за моих предыдущих аргументов. Вот часть, в которой я больше всего не был уверен: я делю это на два. Почему? Ну, снаружи стены есть$g$на нее действует, но внутри стены гравитационное поле вообще не действует (поскольку я пренебрегаю влиянием воздуха). Среднее значение, чтобы получить$1/2$. Как это выражается в давлении? Представлять$\mu = \rho t$где$t$толщина стенки, а у вас есть толщина поверхностной массы в$kg/m^2$. Это то, что нам нужно. Умножьте это на силу тяжести, и вы получите то же уравнение, которое используется на Земле для определения напора жидкости.

$$P = \frac{1}{2} g \mu = \frac{G M}{2 R^2} \rho t$$

Дело в том, что у нас уже есть значение$P=14 psi$которые мы хотим удовлетворить. Для предположений о плотности$\rho$, мой любимый подход состоит в том, чтобы предположить, что он сделан из астероидного материала с$\rho=1.3 g/cm^3$. Далее я представлю еще одно простое уравнение, которое состоит в том, чтобы умножить толщину массы на площадь, чтобы получить массу.

$$M = 4 \pi \mu R^2 = 4 \pi t \rho R^2$$

Эти уравнения с известной плотностью сами по себе могут предсказать толщину оболочки в том, что я называю «большим пределом». При этом предполагалось, что толщина мала по отношению к общему радиусу. Таким образом, для любого большого космического шара, сделанного из материала астероидной плотности, толщина определяется следующим образом:

$$t = \sqrt{ \frac{P}{2 G \pi \rho^2}} = 12.0 km$$

Поскольку мы знаем толщину, мы можем указать радиус или массу. Я подумал, что наиболее уместно просто сказать, что у нас есть некоторая заданная масса для работы. Я взял массу астероида 87 Сильвия , т.е.$1.5 \times 10^{19} kg$. Получить остальное несложно.

$$R = \sqrt{ \frac{M}{4 \pi t \rho}} = 277.0 km$$

Да, это очень большое. Однако диаметр все равно примерно вдвое меньше, чем у Цереры. А 87 Sylvia занимает примерно 18-е место по массе. Заметим, что в обсуждаемой конфигурации стена будет занимать около 6,7% всего объема.

---

Теперь я собираюсь перейти к другой части ответа, где я спрашиваю: «А что, если воздушный шар довольно маленький?» Мы начнем с определения$R$быть внутренним радиусом оболочки, которая является границей области, заполненной воздухом. Чтобы быстро получить ответ, предположим, что$R\approx 0$, это формирует «малый предел». По сути, у вас есть сферический астероид и незначительное количество воздуха в центре. Интегрируйте, чтобы найти напор жидкости, который будет установлен равным 1 атмосфере.

$$P = \int_0^t g(r) \rho dr = \int_0^t G \frac{4}{3} r \rho^2 dr = \frac{2}{3} G \pi \rho^2 t^2$$

Теперь мы получаем определяемый предел для наименьшего объекта, который мы можем сделать из материала астероида, давление в центре которого составляет 1 атмосферу.

$$t = \sqrt{ \frac{3 P }{ 2 G \pi \rho^2 }} = 20.7 km$$

Очевидно, что это больше, чем предыдущая большая предельная толщина, что обусловлено только геометрическими факторами. Теперь, как нам перейти между малым пределом и большим предельным значением? Зададим более сложную геометрию, где внутренний радиус оболочки равен$R$а внешний радиус оболочки$R+t$. Я много боролся с этой частью проблемы, но теперь я полностью уверен в этом ответе. Чтобы установить это, уместно сказать, что поле внутри камня равно полю, которое вы имели бы, если бы все это было сплошным (4/3 pi G rho r), за вычетом поля , которое вы получили бы , если бы воздух был камнем. . Это использует принцип суперпозиции, чтобы вычесть камень в середине, который был «вырезан».

$$g(r) = g_{solid}(r) - g_{center}(r) = \frac{4}{3} \pi G \rho r + \frac{ G \rho \left( \frac{4}{3} \pi R^3 \right) }{ r^2 } \\ = \frac{4}{3} G \rho \pi t \frac{ \left( 3 R^2 + 3 R t + t^2 \right) }{ \left( R + t \right)^2 }$$

$$P = \int_R^{R+t} g(r) \rho dr = \frac{2}{3} \pi \rho^2 G t^2 \frac{ 3 R+t }{ R+t}$$

Это уравнение легко решить в терминах R, но не так просто в терминах t. Его также относительно легко выразить в терминах P, M и t.

У меня были графики, но они были сделаны, когда уравнения были неправильными, поэтому я просто хотел пока исправить математическую ошибку. Возможно, я добавлю больше позже.