Угловая скорость после импульса трения [дубликат]

Для этого поста я использую индексы$_0$,$_1$,$_p$, и$_n$для обозначения до удара, после удара, по нормали к поверхности удара и по касательной к поверхности удара в соответствии с диаграммами ОП.

Настраивать

Если шар имеет форму шара и имеет одинаковую плотность,$I=\frac25m\,r^2$

Силу, действующую на мяч во времени, можно проинтегрировать в импульс. Импульс должен действовать в точке контакта, которая$r$вдали от центра масс. $p$компонент повлияет только на$p$составляющая скорости и максимальная$n$усилие через трение. $n$компонент повлияет на$n$скорость и скорость вращения.

$$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac{J_n\,r}{I}$$ (Знак последнего члена зависит от выбранной вами системы координат)

Прокатный кейс

Если мяч обладает достаточным трением, чтобы к концу удара он катился по поверхности,$V_{n1}=-\omega_1\,r$

Это может иметь место, когда имеются поверхности с высоким коэффициентом трения, а мяч не очень упругий при кручении. Я бы предположил, что это относится и к баскетбольным мячам. (Обратите внимание, что, поскольку баскетбольные мячи полые$I\approx\frac23m\,r^2$поэтому приведенные ниже расчеты необходимо будет переделать для этого значения$I$)

Теперь это система из трех уравнений с тремя неизвестными.

Решение дает:

$$J_n=-\frac27 m(r\,\omega_0+V_{n0})$$ $$\omega_1=\frac{2\,\omega_0}7-\frac{5V_{n0}}{7r}$$ $$V_{n1}=-\frac{2r\,\omega_0}7+\frac{5V_{n0}}{7}$$

Что, если вы установите$\omega_0=0$урожаи$V_{n1}=\frac57V_{n0}$так же, как указано в условии задачи. Обратите внимание, что не использовался закон сохранения энергии, так как в этом случае трение потребляло бы часть энергии.

Скользящий удар

Теперь, если вы хотите изменить эту систему на такую, при которой удар заканчивается до того, как скорость скольжения станет равной нулю, тогда мяч будет скользить на протяжении всей продолжительности удара, что означает, что$F_n=\mu\,F_p$на все время воздействия поэтому поэтому$J_n=\mu\,J_p$Итак, теперь у нас есть:

$$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac{J_n\,r}{I}$$

$$V_{p1}=V_{p0}+\frac{J_p}{m}=-V_{p0}\,COR$$

$$J_n=\mu\,J_p$$

Где$COR$– коэффициент восстановления скорости, перпендикулярной поверхности.

Прямое решение дает несколько длинных уродливых уравнений, но если бы я программировал это, я бы, вероятно, вычислил значения следующим образом:

$$maxFriction=\mu\,(COR+1)$$ $$V_{p1}=-V_{p0}\,COR$$ $$V_{slide}=r\,\omega_0+V_{n0}$$ $$\frac{J_n}{m}=-sign(V_{slide})\,min(maxFriction\,|V_{p0}|,\frac27 |V_{slide}|)$$ $$V_{n1}=V_{n0}+\frac{J_n}{m}$$ $$\omega_1=\omega_0+\frac52\frac{J_n}{m}$$

Торсионно-эластичный

Что происходит, когда вы получаете что-то вроде супермяча или мяча для лакросса, который может деформироваться и накапливать энергию кручения?

В этом случае импульс действительно может быть сильнее, чем требуется для доведения скорости скольжения до нуля. Это похоже на то, как при упругом столкновении разница в скорости между двумя объектами не просто сводится к нулю, она фактически меняет направление. Как оказалось, максимальный импульс, который не производит чистой энергии, меняет направление скорости скольжения на противоположное. Однако я считаю, что существует взаимодействие между перпендикулярной скоростью и тем, насколько изменяется скорость скольжения. Так что все, что я могу сказать на данный момент, это то, что$|J_n| < \frac47m(r\,\omega_0+V_{n0})$и$|J_n| < \mu\,m\,(COR+1)V_{p0}$

$F_r = \mu N$

$\mu$- коэффициент трения. N — нормальная сила (часть силы тяжести, перпендикулярная поверхности).

Если он частично проскальзывает, то объем проделанной работы не равен F*длине наклона — не делайте этой ошибки.

Это довольно длинный ответ — пропустите его вниз, если вы просто хотите увидеть решение.

Похоже, вы предполагаете, что столкновение достаточно неупругое, чтобы мяч не отскакивал от поверхности, верно? Кажется немного необычным, что мяч достаточно неэластичен, чтобы прилипнуть к поверхности, но достаточно тверд, чтобы впоследствии плавно катиться, но мы пойдем с этим.

Мы можем разделить начальную кинетическую энергию на две части:$KE_p$и$KE_n$Я использую вашу систему обозначения размеров "p" и "n".

Поскольку мяч, по-видимому, теряет всю свою скорость в направлении «p», и я не вижу свидетельств какой-либо силы частично в направлениях «p» и «n», которая могла бы облегчить передачу кинетической энергии между точками «p». и "n" направлениях, прихожу к выводу, что 100%$KE_p$должны рассеиваться в виде тепла.

Это оставляет$KE_n$разделить конечное поступательное движение в направлении «n» и вращательное движение.

Я воспользуюсь моментом, чтобы решить случай, когда мяч катится без проскальзывания. В этом случае полная доступная энергия равна$KE_n$

$$KE_n = \frac{1}{2} m ~V_{n0}$$ Эта энергия распределяется между кинетической энергией поступательного движения, кинетической энергией вращения и, возможно, теплом. $$KE_{n0} = KE_{n1} + KE_{rot} + Q$$ $$\frac{1}{2} m ~V_{n0}^2 = \frac{1}{2} m ~V_{n1}^2 + \frac{1}{2} I ~\omega^2 + Q$$ Для однородной сферы $I = \frac{2}{5} m r^2$. Если ваш мяч начинает катиться без проскальзывания сразу после удара, скорость вращения и поступательная скорость должны быть связаны соотношением $\omega = \frac{V_{n1}}{r}$. Подставляя их и упрощая, получаем

$$V_{n0}^2 = \frac{7}{5} V_{n1}^2 + Q$$

Теперь, если мы предположим (вероятно, разумно), что при ударе от начальной скорости мяча в направлении «n» выделяется незначительное количество тепла, то мы получим

$$V_{n1} = \sqrt{\frac{5}{7}} V_{n0}$$

Обратите внимание на квадратный корень ! Похоже, что вы или ваш источник где-то забыли квадратный корень.

Теперь ваш вопрос касался поведения, если сила трения недостаточно сильна, чтобы вызвать «чистое качение» или «качение без проскальзывания», как меня учили это называть.

Когда мяч попадает в первый раз, он вообще не вращается. Таким образом, в первое мгновение оно должно быть чисто скользящим. В этом случае вращательная энергия отсутствует, и энергия делится следующим образом:

$$\frac{1}{2} m ~V_{n0}^2 = \frac{1}{2} m ~V_{n1}^2$$ оставив нас с $$V_{n1} = V_{n0}$$ Довольно простой ответ. Теперь не совсем ясно, хотите ли вы этого, но вот как будет развиваться скорость:

Силы в направлении «n» будут$F_n = F_{gn} + F_f$, где F_{gn} — составляющая гравитационной силы в направлении «n». Сила трения должна быть$\mu F_N$где$F_N$, нормальная сила, должна быть$m g cos(\theta)$.

$$F_n = - m g sin(\theta) - \mu m g cos(\theta)$$

Поскольку это постоянная сила, мы можем разделить на массу, получить ускорение и предсказать поступательную скорость во времени:

$$V_{n1}(t) = V_{n0} - (sin(\theta) + \mu cos(\theta)) g t$$

Скорость вращения можно получить через крутящий момент. Единственная сила, создающая крутящий момент, — это сила трения, поэтому

$$\tau = \mu m g cos(\theta) r$$

Что, если принять силу кинетического трения постоянной, аналогично позволяет найти

$$\omega(t) = \frac{\tau}{I} t$$ $$\omega(t) = \frac{\mu m g cos(\theta) r}{\frac{2}{5} m r^2} t$$ $$\omega(t) = \frac{5}{2} \frac{\mu g cos(\theta)}{r} t$$

Итак, мой окончательный ответ таков:$V_{n1}(t)$дан кем-то

$$V_{n1}(t) = V_{n0} - (sin(\theta) + \mu cos(\theta)) g t$$ Где $t=0$это время воздействия. Этот ответ действителен до момента, когда мяч перестанет двигаться или пока мяч не начнет катиться без проскальзывания (поскольку в этот момент начинает действовать трение покоя).