Механика вращения: возможно ли угловое ускорение без внешнего крутящего момента?

Определение крутящего момента не$\tau=Id\omega/dt$. Мы даже не можем определить такие вещи, как$I$и$\omega$для вращения, которое не является жестким.

Определение крутящего момента$\tau=dL/dt$. Так что да, угловое ускорение возможно без внешнего крутящего момента. Ваш пример правильно показывает, что это может произойти.

поэтому мы можем заключить, что человек имеет угловое ускорение без какого-либо внешнего крутящего момента, что является очевидным противоречием терминов, так как же мы можем согласовать этот случай с концепцией?

Согласуем его с законом сохранения момента импульса.

Угловая скорость фигуриста увеличивается при вытягивании рук, чтобы сохранить угловой момент. Угловой момент фигуриста не изменится, если к объекту не будет приложен внешний крутящий момент. Таким образом, вопреки вашему мышлению, изменение угловой скорости происходит из-за того, что к фигуристу не прилагается внешний крутящий момент для сохранения углового момента.

Сохранение энергии:

Увеличение угловой скорости также можно объяснить сохранением кинетической энергии вращения. В пренебрежении трением нет внешней силы, которая могла бы вызвать изменение кинетической энергии вращения конькобежца = 1/2 I$a^2$где I — вращательный момент внутреннего трения конькобежца и$a$- угловая скорость конькобежца. Когда конькобежец втягивает руки, это уменьшает вращательный момент инерции I. В целях сохранения кинетической энергии угловая скорость конькобежца$a$должен увеличиваться. Заметьте, однако, что вы можете сказать, что внутренняя сила — это то, что позволило фигуристу тянуть руки.

Надеюсь это поможет.

Когда вы втягиваете руки, вы не тянете их прямо к центру, потому что вы вращаетесь, когда втягиваете их внутрь. Именно отсюда исходит сила, которая на самом деле заставляет вас вращаться быстрее. Вам обязательно стоит посмотреть это видео , где он объясняет именно это. Пропустите 10 минут, если вы спешите, но все видео стоит посмотреть.

Я понимаю, что вы имеете в виду, говоря, что объяснения «сохранения углового момента» могут выглядеть так, как будто они скрывают детали действующих действующих сил и крутящих моментов. Вы можете доказать, что законы сохранения на самом деле более фундаментальны, но в любом случае оба объяснения всегда возможны и всегда дают один и тот же результат.

Можем ли мы объяснить приведенный выше случай с помощью справедливых сил, не используя никаких результатов, таких как «сохранение углового момента»? Я думаю, это даст нам больше понимания того, что именно происходит.

Ну да и нет. Потому что с угловыми законами сохранения вы можете просто сказать, что$L = L$, Который означает, что$I_1 \omega_1 = I_2 \omega_2$, а затем вы можете посчитать на обратной стороне конверта, и все готово. Вот почему законы сохранения так хороши — часто с их помощью можно значительно упростить задачу .

Так что я не буду заниматься всей математикой, потому что я ленив и потому что у меня есть соответствующий закон сохранения. Но вообще пусть начальная скорость вращения конькобежца равна$\omega_1$. Затем их руки движутся со скоростью$\omega_1 r_1$, где$r_1$это расстояние от их рук до их оси вращения. Когда они тянут руки,$r$уменьшится; это означает, что их вращающееся тело попытается замедлить движение рук (потому что, если$\frac{dr}{dt} < 0$тогда так$\omega \frac{dr}{dt} < 0$). Эта «попытка замедлить свои руки» будет означать, что они воздействуют на свои руки касательной силой, что означает, что их руки будут оказывать касательную силу на их тело, что означает, что их тело ускорится.

Обратите внимание, что я перешел от двух коротких уравнений к длинному абзацу, и я еще не закончил.

Если бы вы собирались рассчитать это точно, вам пришлось бы учитывать тот факт, что масса распределяется вдоль их рук, и что их скорость вращения изменяется в то же время, когда их руки втягиваются и т. д. и т. д. В итоге вы получите дифференциальное уравнение в частных производных, которое, если я не ошибаюсь (кто-то может меня поправить), также является нелинейным. Вы будете потреблять страницы и страницы для выполнения математических вычислений, и когда вы закончите, вы получите тот же результат, что и при выполнении двух простых коротких уравнений .

Так что добро пожаловать. Я просто поблагодарю Бога* за то, что мы живем во Вселенной, осесимметричной и неизменной во времени**, и займусь двумя математическими расчетами. Если мне нужно вычислить, скажем, силы, участвующие в расширении и сжатии волчка, я не буду формулировать какое-то гигантское уравнение, которое решает для$\omega$-- Я найду это, используя закон сохранения импульса во времени, тогда я найду$\frac{d\omega}{dt}$в любое время, тогда я буду использовать это , чтобы найти любые касательные силы, которые мне нужно решить.

* или случайный случай, или Универсальный Создатель по вашему выбору

** И Эмили Нёртер за указание на то, что следствием этого является сохранение вращательного момента и энергии.

1. Угловое ускорение — это не то же самое, что ускорение перевода. Поступательное ускорение в объекте не может происходить без какой-либо внешней силы, но угловое ускорение в объекте может происходить без какого-либо внешнего крутящего момента.

2. Внешний крутящий момент НЕ является единственным источником углового ускорения. Угловое ускорение во вращающемся теле может возникнуть даже при изменении момента инерции тела.

3. Давайте рассмотрим простой случай, когда автомобиль движется по прямой дороге, и наблюдатель видит автомобиль на расстоянии. В этом случае автомобиль будет иметь переменную угловую скорость относительно наблюдателя, а значит, и угловое ускорение. В данном случае мы не задаемся вопросом, какой момент отвечает за угловое ускорение тела! Таким образом, делается вывод о том, что крутящий момент не обязательно является источником углового ускорения.

4. В случае вращающегося человека, когда человек растягивает или сжимает руки, различные части рук движутся по спирали, а центростремительная сила образует либо тупой, либо острый угол с мгновенной скоростью любой части руки, которая либо замедляет, либо ускоряет часть руки, что изменяет мгновенные скорости всех частей руки, и, следовательно, угловая скорость также изменяется, и скорость изменения угловой скорости рассматривается как угловое ускорение.

Следующие два ресурса прекрасно излагают вышеизложенные идеи.

Ресурс 1

Законы и причины от VSauce: https://www.youtube.com/watch?v=_WHRWLnVm_M

Ресурс 2:

Спиннинг от Vsauce. https://www.youtube.com/watch?v=XHGKIzCcVa0