В (специальной) релятивистской квантовой механике есть стандартный аргумент, утверждающий, что (оснащенное) гильбертово пространство состояний должен быть оснащен проективным унитарным представлением группы Пуанкаре это выглядит примерно так:
Предположим, у нас есть два наблюдателя. и и это преобразование Пуанкаре, которое отображает систему координат в s система координат. Тогда, если и пытаются измерить одно и то же, они на самом деле найдут разные состояния, и соответственно, в (например, если сначала найти вектор , поверните свои оси на и измерьте тот же вектор, числа, которые вы сейчас записываете, будут ). Фактически это дает нам карту состояний: (это будет четко определено только до фазы). Назовем эту карту , так что .
Однако, если мы примем принцип относительности, согласно которому физика должна быть одной и той же в двух системах отсчета, связанных преобразованием Пуанкаре, то мы лучше получим, что
Затем теорема Вигнера говорит нам, что это дает проективное унитарное представление на . (Примечание: я допускаю некоторые элементы быть представленным антиунитариями.)
Теперь, если вы попытаетесь сделать то же самое в искривленном пространстве-времени, вы столкнетесь с очевидной проблемой, что у вас вообще не будет аналога группы Пуанкаре (я полагаю, что существуют пространства-времени, в которых нет полей Киллинга); однако наивно кажется, что принцип общей ковариантности предполагает, что мы должны «обновить» группу изометрий пространства-времени до всей группы диффеоморфизмов пространства-времени в приведенном выше аргументе. (В частности, я не понимаю, как в этом аргументе решающим образом используется тот факт, что обе базы координат наблюдений ортонормированы.) Тогда это означало бы, что гильбертово пространство состояний в квантовой теории искривленного пространства-времени должно обладать проективной унитарное представление группы диффеоморфизмов этого пространства-времени. Однако это, на первый взгляд, кажется неверным.
Итак, куда рушится аргумент, если вы замените группу Пуанкаре в специальной теории относительности группой диффеоморфизмов в общей теории относительности? Или действительно ли мы должны получить унитарное представление всей группы диффеоморфизмов.
Нет, вам не нужны представления группы диффеоморфизмов по той же причине, по которой вам не нужны представления калиброванной группы Ли в Янге-Миллсе. Диффеоморфизмы являются калибровочной симметрией, а не реальной симметрией теории. Калибровочные преобразования тривиально действуют на физические состояния, они отображают одно избыточное описание состояния на другое. Это избыточные описания физических степеней свободы, в то время как реальная симметрия теории отображает физические состояния в другие физические состояния.
В неабелевом случае Янга-Миллса вы ищете состояния в представлениях глобальной группы SU(N). Такие преобразования не являются калибровочными преобразованиями, потому что калибровочный параметр не стремится к нулю на бесконечности, как должны калибровочные преобразования. Эти глобальные преобразования отображают одно физическое состояние в другое физическое состояние. История аналогична в большинстве понятых гравитационных случаев. Диффеоморфизмы являются калибровочными преобразованиями, но существует группа асимптотической симметрии (существенно большие калибровочные преобразования), которые представляют собой реальную симметрию теории.
Например, в случае асимптотически плоского пространства-времени вы накладываете некоторые граничные условия на метрику на бесконечности. Затем вы рассматриваете диффеоморфизмы, которые оставляют эти граничные условия фиксированными. Затем вы в основном модифицируете с помощью тривиальных преобразований, которые не касаются метрики в бесконечности, и получаете группу BMS. Группа BMS по существу является полупрямым произведением с бесконечномерной группой «суперпереводов», 4 из которых можно отождествить с 4 глобальными переводами. Эти преобразования оставляют асимптотику метрики фиксированной, но действуют нетривиально на граничные данные и, следовательно, на состояния системы. Итак, вы видите, что на самом деле мы сталкиваемся с еще большей группой симметрии в неплоском пространстве-времени.
Подобные процедуры могут быть применены к другим пространствам-временям. Вам не нужно, чтобы пространство-время имело убивающие векторы (в общем пространстве-времени их нет), вам просто нужно, чтобы пространство-время имело некоторую заданную асимптотическую форму, и тогда вы можете найти группу, чьи представления управляют гильбертовым пространством.
Разница в том, что инвариантность Пуанкаре является глобальной симметрией, поэтому она нетривиально действует на физические состояния. Это имеет реальные физические последствия; например, если вы воздействуете с оператором перевода на состояние частицы, локализованной в начале координат, вы получаете состояние частицы, локализованной в каком-либо положении, отличном от начала координат. Инвариантность Пуанкаре говорит вам, что эти две частицы имеют одинаковую энергию.
С другой стороны, инвариантность диффеоморфизма является локальной калибровочной симметрией в общей теории относительности. Это означает, что он тривиально действует на физические калибровочно-инвариантные состояния и не может иметь реальных последствий. Это избыточность в описании. Конечно, мы можем получить другое описание той же самой физики, действуя с помощью калибровочного преобразования (т. е. переходя в другую систему отсчета наблюдателя), но это не так эффективно, как глобальная симметрия, которая организует гильбертово пространство в иррепрезентации.
Как вы упомянули выше, это не означает, что не существует аналога симметрии Пуанкаре для изогнутых фонов. Например, глобальная группа изометрий AdS — это группа глобальных конформных преобразований в одном меньшем измерении. Это организует физику AdS в невозвраты конформной группы.
Между прочим, вам может быть интересно, что произойдет, если вы попытаетесь создать теорию с локальной лоренц-инвариантностью. Ответ заключается в том, что вы получаете общую теорию относительности.
Вальтер Моретти