Векторные пространства для неприводимых представлений группы Лоренца

I) Теория представлений двойного накрытия$SL(2,\mathbb{C})$ограниченного$^1$Группа Лоренца$SO^+(1,3;\mathbb{R})$является довольно широкой темой, освещенной во многих учебниках, см., например, Ref. 1 для получения дополнительной информации.

Неприводимое представление$^2$

$$(j_L,j_R)~=~j_L\otimes_{\mathbb{C}} j_R, \qquad j_L, j_R~\in~ \frac{1}{2}\mathbb{N}_0,\tag{1}$$

является тензорным произведением$V=V_L\otimes_{\mathbb{C}} V_R$двух комплексных векторных пространств$V_L$а также$V_R$, комплексной размерности$2j_L+1$а также$2j_R+1$, соответственно. Тензорное произведение$V$снова является комплексным векторным пространством и имеет комплексную размерность$(2j_L+1)(2j_R+1)$. См. также этот пост Phys.SE.

Примеры:

1. $(j_L,j_R)=(0,0)$. Это тривиальное/синглетное представление . Тогда векторное пространство$V\cong\mathbb{C}$. Заметим, что тривиальное представление$(0,0)$является мультипликативным тождеством для тензорного произведения$\otimes_{\mathbb{C}}$, т.е.

$$\forall V:~~(0,0)\otimes_{\mathbb{C}}V~\cong~ V~\cong~ V\otimes_{\mathbb{C}}(0,0).\tag{2}$$

2. $(j_L,j_R)=(\frac{1}{2},0)$. Это известно как представление левого спинора Вейля. Тогда векторное пространство$V\cong\mathbb{C}^2$. Это фундаментальное/определяющее представление$SL(2,\mathbb{C})$.

3. $(j_L,j_R)=(0,\frac{1}{2})$. Это известно как правостороннее представление спинора Вейля. Это комплексно-сопряженное представление левого представления Вейля-спинора.

4. $(j_L,j_R)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$. Это изоморфно векторному представлению группы Лоренца.

5. Представление Дирака-спинора $(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$является прямой суммой левого и правого представления спинора Вейля.

Неприводимое представление (1) можно записать с помощью симметричного тензорного произведения $\odot$левостороннего и правостороннего представления спинора Вейля

$$(j_L,j_R)~=~(\frac{1}{2},0)^{\odot 2j_L} \otimes (0,\frac{1}{2})^{\odot 2j_R}$$ $$~:=~\underbrace{\left\{(\frac{1}{2},0)\odot\ldots\odot(\frac{1}{2},0)\right\}}_{2j_L\text{ symmetrized factors}} \otimes \underbrace{\left\{(0,\frac{1}{2})\odot\ldots\odot(0,\frac{1}{2})\right\}}_{2j_R\text{ symmetrized factors}} .\tag{3}$$

Здесь$\otimes$обозначает стандартное (несимметричное) тензорное произведение .

II) комплексообразование. Ограниченная группа Лоренца$SO^+(1,3;\mathbb{R})$очевидно, является подгруппой комплексифицированного$^2$Группа Лоренца$SO(1,3;\mathbb{C})$. Можно показать, что двойное накрытие комплексифицированной группы Лоренца$SO(1,3;\mathbb{C})$изоморфна прямой или декартовой группе произведений

$$G~=~SL(2,\mathbb{C})_L\times SL(2,\mathbb{C})_R,\tag{4}$$

ср. например, ссылка 1 и этот пост Phys.SE.

Более подробно, неприводимое представление (1) для$SL(2,\mathbb{C})$поднимает до неприводимого представления

$$\rho~=~\rho_L\otimes \rho_R:G\to GL(V,\mathbb{C})\tag{5}$$

для произведения группы Ли (4) в виде

$$\rho(g_L,g_R)(\sum_iv^i_L\otimes v^i_R)~=~\sum_i\rho_L(g_L)v^i_L\otimes\rho_R(g_R)v^i_R ,\tag{6}$$

где оба

$$\rho_{L/R}:SL(2,\mathbb{C})\to GL(V_{L/R},\mathbb{C})\tag{7}$$

являются неприводимыми представлениями$SL(2,\mathbb{C})$сложных размеров$2j_{L/R}+1$.

Использованная литература:

1. И.Л. Бухбиндер, С.М. Кузенко, Идеи и методы суперсимметрии и супергравитации. Или прогулка по суперпространству, 1998; Глава 1.

--

$^1$Рассмотрим здесь для простоты ограниченную группу Лоренца $SO^+(1,3;\mathbb{R})$а не группа Лоренца $O(1,3;\mathbb{R})$. Чтобы учесть спинорные представления, нам нужно перейти к двойному покрытию$SL(2,\mathbb{C})$.

$^2$Мы можем предположить , что представление над вещественным векторным пространством комплексифицируется в комплексное векторное пространство.

$^3$Оказывается, релятивистские физические теории часто обладают соответствующими сложными аналитическими свойствами. См. также этот связанный Phys.SE.

---

(А)

(0,0) действует на тривиальном пространстве$\mathbb{C}.$

---

(Б)

$(\frac{1}{2},0)$действует на векторное пространство, которое совпадает со спиновым пространством$( \alpha|\uparrow \rangle +\beta | \downarrow\rangle)$, игнорируя значение вращения вверх и вниз сейчас. Это пространство просто$\mathbb{C}^2$до ограничения нормализации$|\alpha|^2+|\beta|^2=1.$

---

(С)

$(0,\frac{1}{2})$действует на векторное пространство, которое имеет ту же структуру, что и$(\frac{1}{2},0)$пространство, но может иметь другое значение, я пишу это как$( \gamma|\Uparrow \rangle +\delta | \Downarrow\rangle).$

---

(Д)

$(\frac{1}{2},0) \oplus (0,\frac{1}{2})$действует на$(\alpha|\uparrow \rangle +\beta | \downarrow\rangle) \oplus (\gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle)=( \alpha|\uparrow\rangle +\beta |\downarrow\rangle + \gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle).$

---

(Е)

$(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$действует на$(\alpha|\uparrow\rangle +\beta | \downarrow\rangle)\otimes (\gamma|\Uparrow\rangle +\delta | \Downarrow\rangle )=(a|A\rangle + b|B\rangle +c|C\rangle +d|D\rangle).$

$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$а также$|\gamma|^2+|\delta|^2=1$может не выполняться, оно становится одним выражением для$a \ b \ c \ d.$

---

(Ф)

бесконечный базис, добавляя дополнительный импульс к (B) , например:

$(\alpha_1|\uparrow,p_1\rangle +\beta_1 | \downarrow,p_1\rangle)\oplus( \alpha_2|\uparrow,p_2\rangle +\beta_2 | \downarrow,p_2\rangle)\oplus( \alpha_3|\uparrow,p_3 \rangle +\beta_3 | \downarrow,p_3\rangle)\oplus...$

Я использую$\oplus$, поскольку$\langle s_1,p_i|s_2,p_j\rangle =\delta_{ij} \langle s_1 |s_2\rangle .$

Следовательно, пространство:

$$(\sum_{s=1,2} \sum_{p} a_{s,p} |s,p\rangle)$$ с ограничением нормализации$\sum_{s=1,2} \sum_{ p} |a_{s,p}|^2=1.$

точно так же вы можете добавить дополнительный импульс к (A) (C) (D) (E) , чтобы реализовать их бесконечные версии.

для бесконечной версии (A) это векторное пространство просто$\{ |p\rangle \}$сам.