Уравнение локальной температуры для планеты

Увидев в научной фантастике слишком много планет с двумя солнцами, которые слишком похожи на геоцентрическую систему, я пытаюсь для собственного развлечения понять, действительно ли возможно иметь планету с двумя солнцами, на которой может поддерживаться жизнь, и насколько она будет другой. быть с нашей планеты.

Поскольку найти решение с тремя телами, которое имеет стабильные орбиты и стабильные температуры для планеты, действительно сложно, я решил сузить выбор и немного схитрить. Я посмотрел на другую систему из трех тел, которую мы все знаем и которая достаточно стабильна, чтобы просуществовать несколько миллиардов лет: Солнце-Земля-Луна. Чтобы увеличить масштаб, идея состоит в том, чтобы планета вращалась вокруг красного карлика (Звезда 1), который, в свою очередь, вращался вокруг голубого гиганта (Звезда 2). Чтобы быть реалистичным, планета должна быть привязана к красному карлику приливами (и это также должно упростить расчеты). Чтобы еще больше упростить ситуацию, я представил планету похожей на Землю: та же масса, плотность, альбедо, состав, наклон и т. д.

Позволять$\alpha$быть широтой (0 на экваторе, 90° на северном полюсе),$\beta$долгота (0 на горячем полюсе, где красный карлик светит перпендикулярно земле) и$\delta = 23.5^{\circ} \sin \left( \frac{2 \pi}{\tau_2} t \right)$наклон планеты по отношению к Звезде 2, где$\tau$- орбитальный период.

Там, где светит Звезда 1, она имеет фиксированный угол с азимутом.

$$\sin(\gamma_1) = \cos(\alpha) \cos(\beta)$$ в то время как звезда 2 имеет переменный угол $$\sin(\gamma_2(t)) = \sin(\alpha) \sin(\delta) - \cos(\alpha) \cos(\delta) \cos \left( \frac{2 \pi}{\tau_1} t - \beta \right)$$ куда $t = 0$значит сейчас полночь $\beta = 0$. Поскольку Звезда 2 является голубым гигантом, период достаточно велик, чтобы зависимость $\delta$пренебрежимо мал и может рассматриваться как константа для суточных колебаний.

Время восхода и захода солнца можно рассчитать, запросив$\sin(\gamma_2) = 0$:

• Если$\delta = 0$, тогда$t_{sr} = \tau_1 \left( \frac{1}{4} + \frac{\beta}{2 \pi} \right)$а также$t_{ss} = \tau_1 \left( \frac{3}{4} + \frac{\beta}{2 \pi} \right)$.
• Если$\delta > 0$тогда:
  • Если$- \frac{1}{\tan(\delta)} \le \tan(\alpha) \le \frac{1}{\tan(\delta)}$тогда$t_{sr} = \frac{\tau_1}{2 \pi} \arccos(\tan(\alpha) \tan(\delta)) + \frac{\tau_1 \beta}{2 \pi}$а также$t_{ss} = \tau_1 - t_{sr}$
  • Если$\tan(\alpha) > \frac{1}{\tan(\delta)}$то Звезда 2 всегда сияет
  • Если$\tan(\alpha) < -\frac{1}{\tan(\delta)}$то звезда 2 никогда не светит
• Если$\delta < 0$затем: как указано выше, за исключением того, что второй и третий случай меняются местами

Я могу оценить среднюю температуру, глядя на звездные постоянные.$I_1$а также$I_2$и сравнивая их сумму с нашей солнечной постоянной, чтобы получить среднюю температуру для определенной широты и долготы. Это немного помогает, но проблема в том, что это хорошая оценка, только если$\tau_1$достаточно похож на земной период. Средняя температура на Земле означает, что минимальная и максимальная температуры обычно меньше, чем на 10 К от средней температуры, но если$\tau_1$Чем больше планета, тем больше времени поглощать тепло в течение «дня» и выделять тепло в течение «ночи», увеличивая разницу.

Мой второй подход состоял в том, чтобы составить дифференциальное уравнение:

• Полная энергия$\mbox{d}E_{tot} = c m\,\mbox{d}T$, куда$c$удельная теплоемкость и$m$масса, в которой аккумулируется тепло.
• Приходящая энергия$\mbox{d}E_{in} = a (1-A) (I_1 \sin(\gamma_1) + I_2 \sin(\gamma_2 (t))) \mbox{d}t$, куда$a$это площадь и$A$альбедо планеты
• Исходящая энергия$\mbox{d}E_{out} = \sigma a T^4 \mbox{d}t$(закон Стефана-Больцмана)

Полученное уравнение:

$$\frac{\mbox{d}T}{\mbox{d}t} = \frac{a (1-A)}{c m} (I_1 \sin(\gamma_1) + I_2 \sin(\gamma_2 (t))) - \frac{\sigma a}{c m} T^4$$

куда$I_1 = 0$на темной стороне и$I_2= 0$когда звезда 2 не видна. Это означает, что это уравнение действительно состоит из 4 разных уравнений.

У этого подхода есть две большие проблемы: во-первых, параметры$c$,$m$,$a$кажется, легко определить, когда речь идет о всей планете, но довольно сложно, когда мы анализируем лишь небольшую ее часть. Во-вторых, и это более важно, уравнение кажется неразрешимым, по крайней мере, когда Звезда 2 видна. В общем случае это дифференциальное уравнение Чини (см. здесь ). Когда обе звезды не видны, это становится уравнением Бернулли, и решение найти легко; когда видна только звезда 1, инвариант Чини постоянен ($C=0$если быть точным), так что и в этом случае есть точное решение. Однако, когда звезда 2 видна, кажется, что нет никакого способа найти решение. Итак, после этой стены текста мой вопрос:

• Есть ли способ вычислить явное решение уравнения?
• В качестве альтернативы, есть ли лучший подход к проблеме, который может привести к решению? Подводя итог, меня интересует расчет минимальной и максимальной температуры для заданной широты, долготы, наклона и периода обращения.$\tau_1$. Температура в каждое мгновение — это просто бонус, а не необходимая функция.

Редактировать : я сделал несколько компьютерных симуляций, и, похоже, это работает, но требует некоторой калибровки из-за не очень значимых параметров и парникового эффекта, который действует только на испускаемое тепловое излучение. В модели по-прежнему не учитывается перераспределение тепла за счет потоков воздуха и воды, но это, вероятно, слишком сложно для включения в модель. Несколько сюжетов для Земли ( 1 звезда,$\tau = 1$день) можно увидеть в этой галерее . Синяя линия указывает на восход солнца, красная линия на закат, зеленая линия — на мгновенную температуру, желтая линия — на среднюю температуру, а поле со стрелкой должно давать представление о наклонах, которые дает дифференциальное уравнение, но оно всегда кажется менее наклонным, чем зеленая кривая.

График построен с условием периодичности: алгоритм запускается при температуре 300 К и циклически повторяется в течение нескольких дней, пока температура в начале дня не совпадет с температурой в конце дня. Сезонные колебания достаточно медленны, поэтому это должно быть хорошим приближением.