Посмотрим на соотношения между средней кинетической энергией (для одной частицы) и изменением потенциальной энергии между дном и верхом нашего контейнера.

$$\frac{K}{\Delta U}=\frac{\frac 32 k_BT}{mgh}$$

Воздух состоит из многих типов частиц, но азот является наиболее распространенным, так что давайте работать с ним. Масса$\rm N_2$молекула$4.65\times10^{-26}\ \rm{kg}$, и допустим высота комнаты около$3\ \rm m$. Тогда для$T=295 \ \rm K$(примерно в середине вашего температурного диапазона) у нас есть

$$\frac{\frac 32 k_BT}{mgh}\approx 4.5\times 10^3$$

Таким образом, кинетическая энергия намного больше, чем разность потенциалов между верхом и низом комнаты, поэтому мы склонны ее игнорировать. Вы действительно должны учитывать потенциальную энергию, когда смотрите на большие высоты, например, при анализе атмосферы.

Здесь мы подходим к некоторым сложностям того, как мы на самом деле определяем «полную» энергию. Что касается гравитации, то физика зависит только от изменений потенциальной энергии, а не от ее абсолютного значения; мы можем добавить константу к потенциальной энергии и получить те же предсказания! Таким образом, «полная потенциальная энергия» не является полностью определенной величиной.

Что касается теории идеального газа, то мы рассматриваем частицы газа как твердые шарики и игнорируем любые межмолекулярные взаимодействия. Таким образом, в этом приближении мы игнорируем любые электромагнитные силы между частицами. (Если бы мы захотели их добавить, то получили бы что-то вроде модели Ван-дер-Ваальса, которая, я уверен, появится позже в книге, над которой вы работаете, или в одной из многих других !)

А как насчет гравитационной потенциальной энергии? Это определено с точностью до константы, но между двумя ситуациями все еще могут быть различия в гравитационной потенциальной энергии, потому что меняется распределение плотности воздуха.

Только сколько?

Поскольку мы предполагаем однородную температуру и предполагаем однородное гравитационное поле, мы можем рассчитать распределение плотности в гидростатическом равновесии . В гидростатическом равновесии давление и плотность являются функциями высоты, но мы по-прежнему считаем, что они связаны законом идеального газа.$mP(z)=\rho(z) k_BT$. У нас есть

$$\frac{dP}{dz}=-\rho(z)g=-\frac{mg}{k_BT}P(z)$$ с решением $$\rho(z)=\rho_0\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)$$ Задаем плотность воздуха на уровне земли,$\rho_0$требуя, чтобы общая масса частиц в газе была постоянной: $$\int_\text{room} \rho(z) dV = M$$ Если предположить, что площадь комнаты$A$и высота$h$, это становится $$M=A\int_0^h \rho(z) dz = \frac{A\rho_0 k_B T}{mg}\left(1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)\right)$$ Мы можем изменить это, чтобы найти$\rho_0$в зависимости от температуры: $$\rho_0=\frac{Mmg}{Ak_B T \left(1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)\right)}$$

Найдя плотность как функцию высоты, мы можем вычислить потенциальную энергию газа.

Плотность гравитационной потенциальной энергии куска газа на высоте$z$выше опорного уровня с нулевой потенциальной энергией как раз$u(z)=\rho(z) g z$. Таким образом, полная потенциальная энергия всей комнаты равна

$$U=\int_\text{room} u(z)\,dV=\int_\text{room} \rho(z) g z\thinspace dV=\int_\text{room}gz\rho_0\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)dV$$ и с нашей областью$A$и высота$h$, это становится $$U=Ag\rho_0\int_0^h z\exp\left(-\frac{mgz}{k_BT}\right)\,dz$$

Чтобы вычислить это, мы можем использовать стандартный интегральный результат:

$$\int_0^h z \exp \left(-\frac{z}{C}\right)=C^2\left(1-\left(1+\frac{h}{C}\right)\exp\left(-\frac{h}{C}\right)\right)$$ которые мы можем использовать с$C=\frac{k_B T}{mg}$найти (глубокий вдох)... $$U=\frac{A \rho_0 k_B T}{m}\cdot\frac{k_B T}{mg}\left(1-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)\exp\left(-\frac{mgh}{k_B T}\right)\right)$$

Мы можем объединить это с нашим предыдущим результатом для$\rho_0$:

$$U=\frac{Mk_B T}{m}\cdot\frac{1-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)\exp\left(-\frac{mgh}{k_B T}\right)}{1-\exp\left(-\frac{mgh}{k_BT}\right)}$$

Немного изменив это, чтобы очистить его, мы получим

$$\begin{align*}U&=\frac{Mk_B T}{m}\cdot\frac{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-\left(1+\frac{mgh}{k_B T}\right)}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\\&=\frac{Mk_B T}{m}\left(1-\frac{mgh}{k_BT}\frac{1}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\right)\\&=\frac{Mk_B T}{m}-\frac{Mgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_BT}\right)-1}\\&=Nk_B T - \frac{Nmgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-1}\end{align*}$$ где в последней строке мы использовали, что общая масса равна$M=Nm$.

Итак, отвечая на ваш вопрос, полная энергия идеального газа в комнате с однородной температурой площадью$A$и высота$z$в гидростатическом равновесии будет (при условии, что я не ошибся в приведенном выше выводе)...

$$E=\frac{5}{2}Nk_B T - \frac{Nmgh}{\exp\left(\frac{mgh}{k_B T}\right)-1}$$

плюс константа.