Уравнения Максвелла из дифференциальных форм

Я нашел следующее в некоторых конспектах лекций, которые я сделал некоторое время назад:

$$\mathbf{E}=-\text{grad}\Phi-\partial_t\mathbf{A}\\ \mathbf{B}=\mathrm{rot}\mathbf{A}$$

Это электромагнитные поля, выраженные в потенциальной форме$A^{\mu}=(\Phi,\mathbf{A})$.

Теперь я хотел бы вывести уравнения Максвелла, используя дифференциальные формы. Потенциал - это$1$-форма, тензор электромагнитного поля$F_{\mu\nu}:=(dA)_{\mu\nu}=\partial_\mu A_\nu-\partial_\nu A_\mu$это$2$-форма. Потому что$d^2=0$,$df=0$, поэтому однородные уравнения Максвелла выполняются автоматически. Неоднородные - это

$$\partial_\nu F^{\nu\mu}=j^\mu$$

Различие между$\mu=0$и$\mu=i$, это переводится как

$$\begin{align} \rho = j^0 &= \partial_\nu(\partial^\nu A^0-\partial^0 A^\nu)\\ &= \partial_j\partial^j A^0- \partial_0\partial^j A^j\\ & \\ j^i &= \partial_\nu(\partial^\nu A^i-\partial^i A^\nu)\\ &= \partial_0\partial^0 A^i- \partial_0\partial^i A^0 + \partial_j\partial^j A^i- \partial_j\partial^i A^j\\ &= \partial_0(\partial^0 A^i-\partial^i A^0) + \partial_j\partial^j A^i- \partial^i\partial_j A^j \\ \end{align}$$

так что у нас есть

$$\begin{align} \rho &=\nabla(\color{red}{+}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} &=\partial_t(\partial^t\mathbf{A}-\nabla\Phi) + (\nabla^2)\mathbf{A}-\nabla(\nabla\cdot\mathbf{A})\\ &=\partial_t(\color{red}{-}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{-}\nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align}$$

Но неоднородные уравнения Максвелла

$$\begin{align} \rho =\nabla\mathbf{E} &= \nabla(\color{red}{-}\nabla\Phi-\partial_t\mathbf{A}) \\ \mathbf{j} =-\partial_t\mathbf{E}+\mathrm{rot}\mathbf{B} & =\partial_t(\color{red}{+}\nabla\Phi+\partial^t\mathbf{A}) \color{red}{+} \nabla\times(\nabla\times\mathbf{A}) \end{align}$$

Итак, я ошибся в некоторых знаках, но не могу понять, почему. Я подумал, что, может быть, я получил неправильные знаки из-за смешивания некоторых верхних и нижних индексов (из-за метрики Минковского), но поскольку неправильные знаки в основном связаны с$\Phi$, я сомневаюсь, что это причина.

Любые подсказки?