Уравнения Максвелла из уравнения Эйлера-Лагранжа: я продолжаю получать неправильное уравнение

Я вывожу уравнения Максвелла из этого лагранжиана:

$$\mathscr{L} \, = \, -\frac{1}{4} F^{\mu \nu}F_{\mu \nu} + J^\mu A_\nu \tag{1}$$

Моя подпись

$$(+ - - -)\tag{2}$$ и

$$F^{\mu \nu} \, = \,\left(\begin{matrix}0 & -E_x & -E_{y} & -E_{z} \\ E_{x} & 0 & -B_{z} & B_{y} \\ E_y & B_{z} & 0 & -B_x \\ E_z & -B_{y} & -B_{x} & 0\end{matrix}\right)\tag{3}$$

Моя процедура почти такая же, как эта: https://physics.stackexchange.com/a/14854/121554 .

Но у него есть$+\frac{1}{4}F^{\mu \nu}F_{\mu \nu}$в лагранжиане.

Итак, пока он получает правильное уравнение

$$\partial_\mu F^{\mu \nu}\, = \, J^\nu,\tag{4}$$ Я несу знак минус до конца, и мое окончательное уравнение

$$J^\nu \,=\, -\partial_\mu F^{\mu \nu}\, = \, \partial_\mu F^{\nu \mu}\, ; \tag{5}$$

Что явно неверно, если вы записываете это явно в зависимости от полей, заряда и токов.

Является ли мой лагранжиан неправильным для моей метрики и моего определения тензора электромагнитного поля? Мы провели некоторое время, говоря об этом лагранжиане на уроке, и профессор придал большое значение этому знаку минус, чтобы иметь положительный кинетический член. Я что-то пропустил?

Я могу записать все свои расчеты, если потребуется, но они в основном совпадают со ссылкой, которую я предоставил выше.