Уравнения Максвелла в 2+1 D

У меня проблема с уравнениями Максвелла в (2 + 1) измерениях с использованием дифференциальной формы. Следуя Дж. Баезу «Калибровочные поля, узлы и гравитация», стр. 93 (или любой другой книге), уравнения

г Ф "=" 0 * г * Ф "=" Дж

с Дж "=" − р г т + Дж которая является 1-формой, и Ф — электромагнитное тензорное поле (2-форма). Эти уравнения дают правильные уравнения Максвелла в (3+1) размерности, но в (2+1) есть другое уравнение со знаком минус

див Е "=" − р .

Чтобы детализировать вещи

Ф "=" Б г Икс ∧ г у − Е Икс г т ∧ г Икс − Е у г т ∧ г у * Ф "=" Б г т + Е Икс г у − Е у г Икс г * Ф "=" − ( ∂ т Е у − ∂ Икс Б ) г т ∧ г Икс + ( ∂ т Е Икс − ∂ у Б ) г т ∧ г у + ( ∂ Икс Е Икс + ∂ у Е у ) г Икс ∧ г у * г * Ф "=" ( ∂ Икс Е Икс + ∂ у Е у ) г т + ( ∂ т Е Икс − ∂ у Б ) г Икс + ( ∂ т Е у − ∂ Икс Б ) г у

что подразумевает

див Е "=" − р .

ПОЧЕМУ, есть отрицательный знак?

Ответы (1)

Что-то не так с вашими перестановками знаков в расчете звездного оператора Ходжа. Если

Ф "=" Б + Е ∧ г т ,

затем в 2D,

Ф "=" Б г Икс ∧ г у + Е Икс г Икс ∧ г т + Е у г у ∧ г т ,

как вы сами написали. Теперь возьмем нашу начальную звезду Ходжа как ⋆ г Икс ∧ г у "=" г т . Это значит, что ⋆ г т ∧ г Икс "=" г у и ⋆ г у ∧ г т "=" г Икс , циклической перестановкой (правило правой руки, и здесь, я думаю, ваша ошибка). Это значит, что

⋆ Ф "=" Б г т − Е Икс г у + Е у г Икс ,

что не соответствует знаку того, что вы получили. Действительно, легко видеть, что

( ⋆ г ⋆ Ф ) ( ∂ т ) "=" − ( ∂ Икс Е Икс + ∂ у Е у ) ,

который фиксирует знак, подразумевающий ∇ ⋅ Е "=" р .

Формула для оператора Ходжа у меня есть * г Икс ∧ г т "=" ϵ           2 10 г у "=" − ϵ 102 г у "=" г у . Вот почему я получаю + Е Икс г у
Ну, если хочешь ⋆ г Икс ∧ г т "=" г у , то у вас обязательно должен быть ⋆ г у ∧ г Икс "=" г т (изменение знака) и ⋆ г т ∧ г у "=" г Икс , что снова исправляет ваш знак. Вы используете неправильные двойные числа Ходжа при анализе ⋆ г ⋆ Ф .
Спасибо. Если у вас есть Накахара (геометрия, топология и физика), не могли бы вы сказать мне, неверна ли его формула 7.172, потому что я использую именно ее?
Нет, Накахара не ошибается. Это просто усложнение чего-то очень простого. На мой взгляд, статья в Википедии о дуале Ходжа намного лучше, чем статья Накахара. Я думаю, что вы, вероятно, делаете что-то не так со своими знаками, используя формулу Накахара, вот и все.
@anubis Если я не ответил на ваш вопрос, скажите мне, и я уточню еще больше. Если да, и я думаю, что это так, пожалуйста, установите мой пост в качестве ответа, чтобы этот вопрос можно было закрыть.
Извините, что не ответил раньше. Не могли бы вы подробнее рассказать о формуле, которую использовал Накахара, потому что для меня идея состоит в том, чтобы использовать эти вычисления в искривленном пространстве-времени, и мне нужно использовать какую-то формулу. Чего я не понимаю, так это того, что формула, которую он написал, работает в 4D, но не в 3D, хотя он говорит, что она верна для любого D. И это довольно простая формула, так что не похоже, что я перепутал некоторые индексы.
Ответ на этот вопрос можно найти в ранее упомянутой статье Википедии. Пожалуйста, обратитесь к en.wikipedia.org/wiki/…
Я согласен, что эта формула работает. Но вы сказали: «Накахара не ошибается». Они не могут быть оба правильными. Итак, позвольте мне спросить еще раз. Формула Накахара неверна?
Наконец, я думаю, что у меня есть ответ. Основное уравнение должно быть г * Ф "=" * Дж и не * г * Ф "=" Дж что в 4D для лоренцева многообразия дает * г * Ф "=" Дж потому что * 2 "=" 1 но в 3D * 2 "=" − 1 для лоренцевской сигнатуры, из чего следует, что мы имеем * г * Ф "=" − Дж . Поскольку я знаю, что даже последнее уравнение было неправильным, нам нужно − ∂ т Е + . . . "=" Дж
Я рад, что у тебя получилось =)
Уравнения Максвелла в 2+1 D
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v