Почему общее решение уравнения Шредингера является линейной комбинацией собственных функций?

Вы начинаете не с той точки. Аргумент вытекает из линейности уравнения.
Предполагать$\Psi_k(x,t)$является решением зависящей от времени задачи Schr$\ddot{\hbox{o}}$уравнение Динджера:

$$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_k(x,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_k(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi_k(x,t)\, .$$ Затем: $$\Phi(x,t)=a_1\Psi_1(x,t)+a_2\Psi_2(x,t)$$ также является решением, поскольку $$i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Phi(x,t) =a_1\left(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_1(x,t)\right)+a_2 \left(i\hbar \frac{\partial }{\partial t}\Psi_2(x,t)\right)$$ и $$\begin{align} -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Phi(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Phi(x,t) &=a_1\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_1(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi_1(x,t)\right)\\ &\quad + a_2\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi_2(x,t)}{\partial x^2}+U(x)\Psi_2(x,t)\right)\, . \end{align}$$ Они следуют просто из известного правила, справедливого для любых двух дифференцируемых функций $f$и $g$: $\partial (f+g)/\partial t=\partial f/\partial t+\partial g/\partial t$, и аналогично для партиалов w/r до $x$. Комбинируя эти два последних уравнения, вы получаете тождество для любого $a_1$и $a_2$так как каждый $\Psi_k(x,t)$является независимым решением. Конечно, это просто распространяется на произвольное количество терминов в линейной комбинации.

Обратите внимание, что собственное значение не зависящей от времени части никогда не входит в этот аргумент. Последним шагом является наблюдение, что разделение переменных в уравнении, зависящем от времени, дает$\Psi_k(x,t)=e^{-iE_k t}\psi_k(x)$с$\psi_k(x)$собственная функция стационарного уравнения, но опять же, это не входит в аргумент.

---

Изменить: обратите внимание, что это противоречит независимому от времени уравнению. Когда

$$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_k(x)}{dx^2}+U(x)\psi_k(x)=E_k\psi_k(x)$$ правая часть должна быть кратна исходной функции. Учитывая это наблюдение, обратите внимание, что линейная комбинация $$\psi(x)=a_1\psi_1(x)+a_2\psi_2(x)$$ в общем случае НЕ будет решением уравнения, не зависящего от времени, потому что $$\begin{align} \left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x)\right)\psi(x) &=a_1\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x)\right)\psi_1(x)\\ &\qquad+a_2\left(-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2}+U(x)\right)\psi_2(x) \\ &=a_1E_1\psi_1(x)+a_2E_2\psi_2(x)\\ &=E_1(a_1\psi_1(x)+a_2\psi_2(x))+(E_2-E_1)a_2\psi_2(x)\\ &=E_1\psi(x)+(E_2-E_1)a_2\psi_2(x) \end{align}$$ НЕ будет кратно $\psi(x)$пока не $E_1=E_2$.

Может быть, чтобы ответить на ваш вопрос, полезно начать с немного другой точки зрения, концептуально. В квантовой механике система описывается с помощью гильбертова пространства, векторы которого представляют состояния системы (на самом деле это только часть «состояний», называемых чистыми состояниями, и любые два вектора, комплексно кратные друг другу, представляют одно и то же состояние). , Не беспокойтесь об этом на данный момент) и рецепт того, как состояние системы меняется со временем. В данном случае этим рецептом является уравнение Шредингера, которое я записываю как уравнение векторов гильбертова пространства (в вашем случае гильбертово пространство — это пространство квадратично интегрируемых функций над$\mathbb{R}$, называется$L^2(\mathbb{R})$)

$$i\hbar\partial_t\psi_t=\hat{H}[\psi_t]$$

Оператор$\hat{H}$является самосопряженным, и математика говорит нам , что в этом случае единственное решение этого уравнения с данным начальным условием$\psi_0$(т.е. состояние, в котором запускается ваша система)

$$\psi_t=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}[\psi_0]$$

где$U_t:=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}$является унитарным оператором, называемым «эволюцией времени» (сравните это с тем фактом, что матричная экспонента$iA$, где$A$— эрмитова матрица, — унитарная матрица).

Теперь вся оставшаяся работа заключается в вычислении$U_t\psi_0$для данного$\psi_0$. К сожалению, в большинстве случаев это действительно сложно! Вот тут-то и появляется независимое от времени уравнение Шредингера. Предположим, у вас есть набор собственных векторов$\phi_1, \phi_2 \dots$из$\hat{H}$, то есть удовлетворяют$H\phi_i=E_i\phi_i$(Надеюсь, не возникнет путаницы, когда нижние индексы обозначают время, а когда$\phi$Я говорю о). Опять же, математика говорит нам (и это легко проверить для матриц, то есть для конечномерных гильбертовых пространств), что

$$U_t[\phi_i]=e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}t}[\phi_i]=e^{-\frac{i}{\hbar}E_it}\phi_i$$

Это очень удобно, потому что теперь нам не нужно вычислять экспоненту оператора. Также все эти операторы линейны, так что если нам удастся записать наше начальное состояние$\psi_0$как некоторую линейную комбинацию собственных векторов

$$\psi_0=\sum_{i=1}^{?} c_i\phi_i$$ для некоторых констант $c_i$искомое решение принимает вид

$$\psi_t=\sum_{i=1}^{?} c_ie^{-\frac{i}{\hbar}E_it}\phi_i$$ Таким образом, мы решили проблему, если сможем найти способ выразить любое начальное условие, которое нам может понадобиться, в виде линейной комбинации собственных векторов $\hat{H}$. Мы хотим найти ортонормированный базис гильбертова пространства, состоящий из таких собственных векторов, тогда мы можем выразить ЛЮБОЙ вектор в виде бесконечной линейной комбинации.